Cторона правильного треугольника, описанного около некоторой окружности, равна корню из 3. Найдите сторону...

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойством вписанных углов.

Поскольку правильный треугольник описан около окружности, то его сторона равна диаметру этой окружности. Диаметр окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен удвоенному радиусу. Так как радиус равен половине диаметра, то сторона треугольника равна двум радиусам, то есть 2r = √3, откуда r = √3 / 2.

Теперь рассмотрим правильный четырехугольник, вписанный в эту же окружность. Угол четырехугольника при основании (угол, образованный двумя радиусами) равен 90 градусов, так как радиусы окружности перпендикулярны к сторонам четырехугольника.

Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник с катетами, равными радиусу и половине стороны четырехугольника. По теореме Пифагора получаем:

(r)^2 + (l/2)^2 = (l)^2, r^2 + l^2/4 = l^2, r^2 = 3/4, l^2/4 = 3/4, l^2 = 3, l = √3.

Таким образом, сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность, равна корню из 3.

Для решения этой задачи нужно воспользоваться свойствами вписанных и описанных фигур и их связи с окружностью.

Дано: правильный треугольник, описанный около окружности с радиусом (r), имеет сторону (a = \sqrt{3}).

1. Найдем радиус (r) окружности, вписанной в правильный треугольник:

   Для правильного треугольника со стороной (a), радиус вписанной окружности (r) выражается формулой: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

   Подставим (a = \sqrt{3}): [ r = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

2. Используем радиус (r) для нахождения стороны правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в ту же окружность:

   Для квадрата, вписанного в окружность, сторона квадрата связана с радиусом окружности следующим образом: [ s = r \sqrt{2} ] где (s) — сторона квадрата, (r) — радиус окружности.

   Подставим (r = \frac{1}{2}): [ s = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, сторона правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в ту же окружность, равна (\frac{\sqrt{2}}{2}).