Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ=16см и ВС=12см. Отрезок SC,равный 20см,- перпендикуляр...

Чтобы решить задачу, сначала найдем векторные суммы, а затем угол между прямой и плоскостью.

а) Найдите CS + SB + BA

Даны:

• Прямоугольный треугольник ( ABC ) с катетами ( AB = 16 \, \text{см} ) и ( BC = 12 \, \text{см} ).
• Перпендикуляр ( SC = 20 \, \text{см} ).

Сначала найдем длину гипотенузы ( AC ) по теореме Пифагора: [ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \, \text{см}. ]

Теперь рассмотрим векторы:

• ( \vec{CS} ) — вектор от ( C ) к ( S ), равный 20 см.
• ( \vec{SB} ) — вектор от ( S ) к ( B ).
• ( \vec{BA} ) — вектор от ( B ) к ( A ).

Цель — найти сумму векторов ( \vec{CS} + \vec{SB} + \vec{BA} ).

Рассмотрим ( \vec{CS} + \vec{SB} + \vec{BA} ):

• ( \vec{CS} ) — вектор от ( C ) к ( S ).
• ( \vec{SB} = -\vec{BS} ).
• ( \vec{BA} = -\vec{AB} ).

Сумма ( \vec{CS} + \vec{SB} + \vec{BA} ) упрощается: [ \vec{CS} + \vec{SB} + \vec{BA} = \vec{CS} - \vec{BS} - \vec{AB}. ] Так как ( S ) лежит на перпендикуляре к плоскости ( ABC ) и не перемещается в плоскости, векторы ( \vec{BS} ) и ( \vec{AB} ) не изменяют направление ( \vec{CS} ). Результат будет равен нулю, так как они взаимно компенсируются в пространстве плоскости.

Таким образом, сумма векторов: [ \vec{CS} + \vec{SB} + \vec{BA} = \vec{0}. ]

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC

Для определения угла между прямой ( SA ) и плоскостью ( ABC ), используем тот факт, что ( SC ) перпендикулярен плоскости ( ABC ).

Пусть ( \theta ) — угол между ( SA ) и плоскостью ( ABC ). Тогда угол между ( SA ) и нормалью к плоскости ( ABC ) (то есть ( SC )) будет ( 90^\circ - \theta ).

Поскольку ( SC ) перпендикулярен плоскости ( ABC ), угол между ( SA ) и плоскостью будет равен углу между ( SA ) и ( SC ). Используем треугольник ( SAC ) (прямоугольный в ( C )) для нахождения угла: [ \tan \phi = \frac{AC}{SC} = \frac{20}{20} = 1, ] где (\phi) — угол между ( SA ) и ( SC ).

Поскольку (\tan \phi = 1), (\phi = 45^\circ).

Таким образом, угол между прямой ( SA ) и плоскостью ( ABC ) равен: [ \theta = 45^\circ. ]

а) Найдем векторы CS, SB и BA.

Вектор CS = -SC = -20см Вектор SB = -SB = -12см Вектор BA = -BA = -16см

Теперь найдем их сумму: CS + SB + BA = -20см - 12см - 16см = -48см

б) Найдем угол между прямой SA и плоскостью АВС.

Угол между прямой и плоскостью можно найти по формуле: cos(угол) = (CS n) / (|CS| |n|)

Где n - нормальный вектор к плоскости, а CS - вектор, параллельный прямой SA. Нормальный вектор к плоскости АВС можно найти как векторное произведение катетов: n = AB x BC = (16см * 12см) = 192см^2

Теперь найдем угол между прямой SA и плоскостью: cos(угол) = (CS n) / (|CS| |n|) cos(угол) = (-20см 192см^2) / (20см 192см) = -1 угол = arccos(-1) = 180°

Ответ: а) CS + SB + BA = -48см, б) угол между прямой SA и плоскостью АВС равен 180°.

а) CS+SB+BA = 20см + 12см + 16см = 48см б) Угол между прямой SA и плоскостью АВС равен 90 градусов, так как прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.