Дан треугольник AMK. AM=6, MK=4, AK=8. Из вершины угла M проведена высота MD. Найти MD.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами высот треугольника.

Сначала найдем длину стороны AK, используя теорему Пифагора: AK^2 = AM^2 + MK^2 AK^2 = 6^2 + 4^2 AK^2 = 36 + 16 AK^2 = 52 AK = √52 AK = 2√13

Теперь найдем площадь треугольника AMK, используя формулу площади треугольника через стороны: S = 1/2 AK MD S = 1/2 2√13 MD S = √13 * MD

Также площадь треугольника можно найти через стороны треугольника и радиус вписанной окружности r: S = AK MK / 2r S = 2√13 4 / 2r S = 8√13 / r

Таким образом, мы получаем два выражения для площади треугольника AMK: √13 * MD = 8√13 / r MD = 8 / r

Поскольку радиус вписанной окружности треугольника равен половине длины его стороны, то r = AK / 2 = √13. Подставляем это значение в выражение для MD: MD = 8 / √13 = 8√13 / 13 ≈ 2,45

Итак, длина высоты MD треугольника AMK равна приблизительно 2,45.

Чтобы найти высоту ( MD ) в треугольнике ( \triangle AMK ), где дано ( AM = 6 ), ( MK = 4 ), и ( AK = 8 ), мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника.

Сначала найдем площадь треугольника ( \triangle AMK ) с помощью формулы Герона. Для этого сначала вычислим полупериметр ( p ):

[ p = \frac{AM + MK + AK}{2} = \frac{6 + 4 + 8}{2} = 9 ]

Теперь применим формулу Герона:

[ S = \sqrt{p(p - AM)(p - MK)(p - AK)} = \sqrt{9(9 - 6)(9 - 4)(9 - 8)} ]

[ S = \sqrt{9 \times 3 \times 5 \times 1} = \sqrt{135} ]

Площадь ( S = \sqrt{135} ) можно также выразить как:

[ S = 3\sqrt{15} ]

Теперь используем формулу для площади треугольника через основание и высоту:

[ S = \frac{1}{2} \times MK \times MD ]

Подставим значения:

[ 3\sqrt{15} = \frac{1}{2} \times 4 \times MD ]

[ 3\sqrt{15} = 2 \times MD ]

[ MD = \frac{3\sqrt{15}}{2} ]

Таким образом, высота ( MD ) равна ( \frac{3\sqrt{15}}{2} ).