Дана окружность x^2+y^2-4x-5=0 и точка С(5,4).напишите уравнение окружности ,имеющей центр в данной...

Рассмотрим окружность с уравнением ( x^2 + y^2 - 4x - 5 = 0 ). Для начала преобразуем это уравнение к стандартному виду.

Сначала выделим полный квадрат для переменных ( x ) и ( y ):

[ x^2 - 4x + y^2 - 5 = 0 ]

Добавим и вычтем 4, чтобы выделить полный квадрат для (x):

[ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 5 = 4 ]

Перепишем уравнение:

[ (x - 2)^2 + y^2 - 5 = 4 ] [ (x - 2)^2 + y^2 = 9 ]

Теперь уравнение окружности имеет стандартный вид ( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 ), где ( (x_0, y_0) ) — центр окружности, а ( r ) — радиус. Для нашей окружности центр находится в точке ( (2, 0) ), а радиус равен ( \sqrt{9} = 3 ).

Теперь рассмотрим данную точку ( C(5, 4) ), которая является центром новой окружности. Пусть радиус новой окружности равен ( R ).

Для того чтобы новая окружность касалась данной окружности внешним образом, расстояние между центрами этих окружностей должно быть равно сумме их радиусов. Обозначим расстояние между центрами через ( d ).

Центр первой окружности — ( (2, 0) ), центр второй окружности — ( (5, 4) ). Найдём расстояние ( d ) между этими точками:

[ d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Так как расстояние между центрами ( d = 5 ), радиусы окружностей ( R ) и 3 должны удовлетворять условию:

[ d = R + 3 ]

Подставим ( d ):

[ 5 = R + 3 ]

Отсюда находим радиус ( R ):

[ R = 5 - 3 = 2 ]

Итак, радиус новой окружности равен 2, а её центр находится в точке ( (5, 4) ). Уравнение этой окружности имеет вид:

[ (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 2^2 ]

Или:

[ (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4 ]

Таким образом, уравнение окружности, имеющей центр в точке ( C(5, 4) ) и касающейся данной окружности внешним образом, записывается как:

[ (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4 ]

Для того чтобы найти уравнение окружности, имеющей центр в точке C(5,4) и касающейся данной окружности внешним образом, нужно следовать следующим шагам:

1. Найдем координаты центра данной окружности. Для этого нужно найти середину отрезка, соединяющего центр окружности и точку C. Это можно сделать по формулам: x = (x1 + x2) / 2 и y = (y1 + y2) / 2, где (x1, y1) - координаты центра данной окружности.

2. Теперь найдем расстояние между центром данной окружности и точкой C. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

3. Так как окружности касаются внешним образом, то радиусы окружностей будут равны, поэтому радиус новой окружности будет равен найденному ранее расстоянию d.

4. Теперь зная координаты центра новой окружности и ее радиус, можно записать уравнение окружности в виде: (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2, где (x0, y0) - координаты центра новой окружности, r - радиус.

Таким образом, уравнение искомой окружности будет: (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = d^2.