Дана правильная шестиугольная пирамида, боковое ребро равно 24 см и составляет с основанием угол 60....

Для решения задачи найдем периметр основания правильной шестиугольной пирамиды. Давайте разберем задачу поэтапно.

Шаг 1. Разберемся с геометрией правильной шестиугольной пирамиды

1. Правильная шестиугольная пирамида имеет в основании правильный шестиугольник, а все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники.
2. Боковое ребро равно 24 см и наклонено к плоскости основания под углом 60°.

Шаг 2. Связь бокового ребра и радиуса описанной окружности

В правильной пирамиде высота опускается из вершины пирамиды ( S ) на центр основания ( O ). Боковое ребро, высота пирамиды и радиус описанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник. Рассмотрим его:

• гипотенуза — боковое ребро длиной 24 см,
• угол между боковым ребром и основанием — 60°,
• радиус описанной окружности основания (обозначим его ( R )) — катет, лежащий в основании.

Из тригонометрии: [ \cos(60^\circ) = \frac{R}{24}. ] Подставляем значение ( \cos(60^\circ) = 0,5 ): [ 0,5 = \frac{R}{24}. ] Отсюда: [ R = 24 \cdot 0,5 = 12 \, \text{см}. ]

Шаг 3. Связь радиуса описанной окружности и стороны правильного шестиугольника

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. Таким образом, сторона правильного шестиугольника ( a ) равна: [ a = R = 12 \, \text{см}. ]

Шаг 4. Периметр основания

Периметр правильного шестиугольника ( P ) равен: [ P = 6 \cdot a. ] Подставляем значение ( a = 12 ): [ P = 6 \cdot 12 = 72 \, \text{см}. ]

Ответ:

Периметр основания правильной шестиугольной пирамиды равен 72 см.

Для решения задачи сначала нужно определить некоторые характеристики правильной шестиугольной пирамиды.

1. Определение высоты пирамиды: Дано боковое ребро (l) пирамиды, равное 24 см, и угол между боковым ребром и основанием (α), равный 60°. Мы можем использовать тригонометрические функции, чтобы найти высоту (h) пирамиды.

   В данном случае, высота пирамиды h может быть найдена с помощью формулы: [ h = l \cdot \sin(α) ] Подставляя известные значения: [ h = 24 \cdot \sin(60°) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см} ]

2. Определение радиуса описанной окружности: В правильной шестиугольной пирамиде основание – правильный шестиугольник. Радиус описанной окружности (R) шестиугольника связан с его стороной (a) через формулу: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] Также, для нахождения стороны шестиугольника, воспользуемся высотой треугольника, образованного боковым ребром и радиусом описанной окружности. Угол между высотой и боковым ребром также равен 30° (так как треугольник является равнобедренным). Таким образом, можно написать: [ h = R \cdot \sqrt{3} ] Подставляя значение высоты: [ 12\sqrt{3} = R \cdot \sqrt{3} ] Отсюда получаем: [ R = 12 \text{ см} ]

3. Вывод стороны основания: Теперь мы можем найти сторону шестиугольника (a): [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = R \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ см} ]

4. Периметр основания: Периметр P правильного шестиугольника можно найти по формуле: [ P = 6a ] Подставив найденное значение стороны: [ P = 6 \cdot 12\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см} ]

Таким образом, периметр основания правильной шестиугольной пирамиды составляет ( 72\sqrt{3} ) см.