Дано: А(7 ; - 4), В(-2;-10), С(0 ;5). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ;  в) координаты...

а) Координаты вектора ВС: Вектор ВС = (x2 - x1; y2 - y1) = (0 - (-2); 5 - (-10)) = (2; 15)

б) Длина вектора АВ: Длина вектора АВ = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-2 - 7)^2 + (-10 - (-4))^2] = √[(-9)^2 + (-6)^2] = √(81 + 36) = √117 = 3√13

в) Координаты середины отрезка АС: Середина отрезка АС = ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2) = ((7 + 0)/2; (-4 + 5)/2) = (3.5; 0.5)

г) Периметр треугольника АВС: Периметр треугольника АВС = длина отрезка АВ + длина отрезка ВС + длина отрезка СА = 3√13 + √(2^2 + 15^2) + √(7^2 + 9^2) = 3√13 + √(4 + 225) + √(49 + 81) = 3√13 + √229 + √130

д) Длина медианы ВМ: Медиана ВМ делит сторону AC пополам, значит её длина равна половине длины AC. Длина медианы ВМ = 0.5 длина отрезка AC = 0.5 √[(0 - 7)^2 + (5 - (-4))^2] = 0.5 √(49 + 81) = 0.5 √130 = √130 / 2

а) Вектор ВС: (-2 - 0; -10 - 5) = (-2; -15) б) Длина вектора АВ: √((-2 - 7)² + (-10 + 4)²) = √((-9)² + (-6)²) = √(81 + 36) = √117 в) Координаты середины отрезка АС: ((7 + 0) / 2; (-4 + 5) / 2) = (3.5; 0.5) г) Периметр треугольника АВС: AB + BC + AC = √117 + 15 + √74 д) Длина медианы ВМ: ВМ = 1/2 √(2AC² + 2BC² - AB²) = 1/2 √(2 74 + 2 117 - 81) = 1/2 √(148 + 234 - 81) = 1/2 √(301)

Рассмотрим задачи по теме геометрии, используя заданные точки ( A(7, -4) ), ( B(-2, -10) ) и ( C(0, 5) ).

а) Координаты вектора ( \vec{BC} )

Для нахождения координат вектора ( \vec{BC} ), нужно вычесть координаты точки B из координат точки C: [ \vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (0 - (-2), 5 - (-10)) = (2, 15) ]

б) Длина вектора ( \vec{AB} )

Длина вектора ( \vec{AB} ) рассчитывается по формуле длины отрезка в двумерном пространстве: [ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-2 - 7)^2 + (-10 - (-4))^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} ]

в) Координаты середины отрезка ( AC )

Координаты середины отрезка ( AC ) находятся по формуле среднего арифметического координат концов отрезка: [ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{7 + 0}{2}, \frac{-4 + 5}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, \frac{1}{2} \right) ]

г) Периметр треугольника ( ABC )

Чтобы найти периметр треугольника ( ABC ), нужно найти длины всех его сторон и сложить их.

Длина стороны ( AB ) уже найдена: ( 3\sqrt{13} ).

Теперь найдем длину стороны ( BC ): [ |\vec{BC}| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (5 - (-10))^2} = \sqrt{2^2 + 15^2} = \sqrt{4 + 225} = \sqrt{229} ]

Длина стороны ( AC ): [ |\vec{AC}| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(0 - 7)^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{(-7)^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130} = \sqrt{130} ]

Теперь сложим все стороны: [ P = |AB| + |BC| + |AC| = 3\sqrt{13} + \sqrt{229} + \sqrt{130} ]

д) Длина медианы ( BM )

Медиана ( BM ) — это отрезок, соединяющий вершину треугольника ( B ) с серединой противоположной стороны ( AC ). Мы уже нашли координаты середины ( AC ): [ M\left( \frac{7}{2}, \frac{1}{2} \right) ]

Теперь найдем длину вектора ( \vec{BM} ): [ |\vec{BM}| = \sqrt{\left( \frac{7}{2} - (-2) \right)^2 + \left( \frac{1}{2} - (-10) \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{7}{2} + 2 \right)^2 + \left( \frac{1}{2} + 10 \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{7}{2} + \frac{4}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} + \frac{20}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{11}{2} \right)^2 + \left( \frac{21}{2} \right)^2} ]

[ = \sqrt{\left( \frac{11}{2} \right)^2 + \left( \frac{21}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{121}{4} \right) + \left( \frac{441}{4} \right)} = \sqrt{\frac{121 + 441}{4}} = \sqrt{\frac{562}{4}} = \sqrt{140.5} = \sqrt{140.5} ]

Таким образом, все ответы на поставленные задачи найдены и представлены выше.