Дано: ABCD - параллелограмм, вектор AB = вектору a, вектор AD = вектору b, BD и AC - диагонали. Выразите...

Для начала выразим вектор BC: BC = BD - CD Так как BD = AB + AD, то BC = AB + AD - CD BC = a + b - CD

Теперь найдем вектор CD: CD = AC - AD Так как AC = AB + BC, то CD = AB + BC - AD CD = a + (a + b) - b CD = 2a

Далее найдем вектор AC: AC = AB + BC AC = a + (a + b) AC = 2a + b

Теперь найдем вектор OC (центр параллелограмма): OC = (OA + OB + OD + OC) / 4 OC = (0 + a + b + C) / 4 OC = (a + b) / 4

И, наконец, найдем вектор OA: OA = OC - CA OA = (a + b) / 4 - 2a OA = a / 4 - b / 4

В параллелограмме ABCD даны векторы AB и AD, которые обозначены как (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) соответственно. Задача состоит в том, чтобы выразить через эти векторы другие векторы, которые определяют стороны и диагонали параллелограмма.

1. Вектор BC: В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому вектор BC равен вектору AD, но с противоположным направлением. То есть: [ \mathbf{BC} = \mathbf{a} ]

2. Вектор CD: Вектор CD равен вектору BA, потому что CD и BA — противоположные стороны параллелограмма. Вектор BA можно выразить через вектор AB как -AB. Следовательно: [ \mathbf{CD} = -\mathbf{a} + \mathbf{b} ]

3. Вектор AC: Вектор AC является диагональю параллелограмма, которая соединяет вершины A и C. Вектор AC можно найти как сумму векторов AD и DC: [ \mathbf{AC} = \mathbf{AD} + \mathbf{DC} ] Но (\mathbf{DC}) — это вектор, противоположный вектору CD: [ \mathbf{DC} = -\mathbf{b} + \mathbf{a} ] Следовательно: [ \mathbf{AC} = \mathbf{b} + \mathbf{a} ]

4. Вектор OC: Точка O — это точка пересечения диагоналей параллелограмма, которая делит диагонали пополам. Так как O — середина диагонали AC, то вектор OC будет равен половине вектора AC: [ \mathbf{OC} = \frac{1}{2} \mathbf{AC} ] Подставляя (\mathbf{AC}): [ \mathbf{OC} = \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

5. Вектор OA: Вектор OA — это вектор, который идет от точки O (середины диагонали) к точке A. Вектор OA будет равен половине вектора AC с противоположным направлением: [ \mathbf{OA} = -\mathbf{OC} ] Подставляя (\mathbf{OC}): [ \mathbf{OA} = -\frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

Таким образом, векторы через (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) выражаются следующим образом:

1. (\mathbf{BC} = \mathbf{a})
2. (\mathbf{CD} = -\mathbf{a} + \mathbf{b})
3. (\mathbf{AC} = \mathbf{a} + \mathbf{b})
4. (\mathbf{OC} = \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}))
5. (\mathbf{OA} = -\frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}))