Дано: АВСD-ромб Е пренадлежит ВС ВЕ:ЕС=3:1 К-середина DС вектор AB= a вектор АD=в Выразить: векторы...

Для начала найдем координаты вектора AE. Обозначим координаты точек A(0,0), B(x1,0), C(x2,y2), D(x3,y3) и E(x4,y4). Так как ромб, то векторы AB и AD равны по модулю и направлению, поэтому координаты точек B и D можно найти следующим образом: x1 = -a, y3 = b.

Так как E принадлежит отрезку BC, то координаты точки E можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C, умноженное на 3/4 (так как ЕC = 1/4BC): x4 = (3x1 + x2)/4, y4 = (3*0 + y2)/4.

Теперь найдем координаты точки K как середину отрезка DC: xK = (x3 + x2)/2, yK = (y3 + y2)/2.

Итак, координаты вектора AE: x4 - 0 = (3x1 + x2)/4, y4 - 0 = y2/4. Координаты вектора AK: xK - 0 = (x3 + x2)/2, yK - 0 = (y3 + y2)/2. Координаты вектора KE: x4 - xK = (3x1 + x2)/4 - (x3 + x2)/2, y4 - yK = y2/4 - (y3 + y2)/2.

Таким образом, выражены векторы AE, AK, KE через заданные векторы АВ, АD и коэффициент a.

Рассмотрим ромб (ABCD), в котором (E) принадлежит (BC), и отношение (BE:EC = 3:1). Также (K) является серединой (DC). Даны векторы (\mathbf{AB} = \mathbf{a}) и (\mathbf{AD} = \mathbf{b}). Требуется выразить векторы (\mathbf{AE}), (\mathbf{AK}) и (\mathbf{KE}).

Найдем вектор (\mathbf{AE}):

1. Так как (E) делит (BC) в отношении (3:1), можно использовать формулу деления отрезка в данном отношении.

2. Векторы (\mathbf{BC}) и (\mathbf{EC}) можно выразить через векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}): [ \mathbf{BC} = \mathbf{BA} + \mathbf{AD} + \mathbf{DC} = -\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{a} = \mathbf{b} - 2\mathbf{a} ] [ \mathbf{EC} = \frac{1}{4} \mathbf{BC} = \frac{1}{4} (\mathbf{b} - 2\mathbf{a}) ]

3. Вектор (\mathbf{BE}) будет, соответственно, равен: [ \mathbf{BE} = \mathbf{BC} - \mathbf{EC} = (\mathbf{b} - 2\mathbf{a}) - \frac{1}{4} (\mathbf{b} - 2\mathbf{a}) = \frac{3}{4} (\mathbf{b} - 2\mathbf{a}) ]

4. Вектор (\mathbf{AE}) можно получить, используя векторное сложение: [ \mathbf{AE} = \mathbf{AB} + \mathbf{BE} = \mathbf{a} + \frac{3}{4} (\mathbf{b} - 2\mathbf{a}) = \mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b} - \frac{3}{2} \mathbf{a} = -\frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b} ]

Найдем вектор (\mathbf{AK}):

1. (K) является серединой (DC), поэтому: [ \mathbf{K} = \frac{\mathbf{D} + \mathbf{C}}{2} ]

2. Вектор (\mathbf{C}) можно выразить через (A) и (B): [ \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{AB} + \mathbf{BC} = \mathbf{A} + \mathbf{a} + (\mathbf{b} - 2\mathbf{a}) = \mathbf{A} + \mathbf{b} - \mathbf{a} ]

3. Таким образом, (K) можно записать как: [ \mathbf{K} = \frac{\mathbf{D} + (\mathbf{A} + \mathbf{b} - \mathbf{a})}{2} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{b} + \mathbf{A} + \mathbf{b} - \mathbf{a}}{2} = \mathbf{A} + \frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{2} ]

4. Вектор (\mathbf{AK}): [ \mathbf{AK} = \mathbf{K} - \mathbf{A} = \frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{2} = \frac{1}{2} \mathbf{b} - \frac{1}{2} \mathbf{a} ]

Найдем вектор (\mathbf{KE}):

1. Используем выражения для (K) и (E): [ \mathbf{K} = \mathbf{A} + \frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{2} ] [ \mathbf{E} = \mathbf{A} + \mathbf{a} + \frac{3}{4} (\mathbf{b} - 2 \mathbf{a}) ]

2. Вектор (\mathbf{E}) можно переписать: [ \mathbf{E} = \mathbf{A} + \mathbf{a} + \frac{3}{4} \mathbf{b} - \frac{3}{2} \mathbf{a} = \mathbf{A} - \frac{1}{2} \mathbf{a} + \frac{3}{4} \mathbf{b} ]

3. Вектор (\mathbf{KE}): [ \mathbf{KE} = \mathbf{E} - \mathbf{K} = \left(\mathbf{A} - \frac{1}{2} \mathbf{a} + \frac{3}{4} \mathbf{b}\right) - \left(\mathbf{A} + \frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{2}\right) ] [ \mathbf{KE} = -\frac{1}{2} \mathbf{a} + \frac{3}{4} \mathbf{b} - \frac{\mathbf{b}}{2} + \frac{\mathbf{a}}{2} = \frac{1}{2} \mathbf{a} - \frac{1}{4} \mathbf{b} ]

Таким образом, мы получили следующие выражения для векторов: [ \mathbf{AE} = -\frac{1}{2} \mathbf{a} + \frac{3}{4} \mathbf{b} ] [ \mathbf{AK} = \frac{1}{2} \mathbf{b} - \frac{1}{2} \mathbf{a} ] [ \mathbf{KE} = \frac{1}{2} \mathbf{a} - \frac{1}{4} \mathbf{b} ]

Вектор АЕ = 0.5a, вектор АК = 0.5a + 0.5в, вектор КЕ = 0.5в.