Дано: АВСD-ромб Е пренадлежит ВС ВЕ:ЕС=3:1 К-середина DС вектор AB= a вектор АD=в Выразить: векторы...

Для начала найдем координаты вектора AE. Обозначим координаты точек A$0,0$, B$x1,0$, C$x2,y2$, D$x3,y3$ и E$x4,y4$. Так как ромб, то векторы AB и AD равны по модулю и направлению, поэтому координаты точек B и D можно найти следующим образом: x1 = -a, y3 = b.

Так как E принадлежит отрезку BC, то координаты точки E можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C, умноженное на 3/4 (так как ЕC = 1/4BC): x4 = (3x1 + x2)/4, y4 = $3\ast 0+y2$/4.

Теперь найдем координаты точки K как середину отрезка DC: xK = $x3+x2$/2, yK = $y3+y2$/2.

Итак, координаты вектора AE: x4 - 0 = (3x1 + x2)/4, y4 - 0 = y2/4. Координаты вектора AK: xK - 0 = $x3+x2$/2, yK - 0 = $y3+y2$/2. Координаты вектора KE: x4 - xK = (3x1 + x2)/4 - $x3+x2$/2, y4 - yK = y2/4 - $y3+y2$/2.

Таким образом, выражены векторы AE, AK, KE через заданные векторы АВ, АD и коэффициент a.

Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором $E$ принадлежит $BC$, и отношение $BE:EC=3:1$. Также $K$ является серединой $DC$. Даны векторы $\mathbf{AB}=\mathbf{a}$ и $\mathbf{AD}=\mathbf{b}$. Требуется выразить векторы $\mathbf{AE}$, $\mathbf{AK}$ и $\mathbf{KE}$.

Найдем вектор $\mathbf{AE}$:

1. Так как $E$ делит $BC$ в отношении $3:1$, можно использовать формулу деления отрезка в данном отношении.

2. Векторы $\mathbf{BC}$ и $\mathbf{EC}$ можно выразить через векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$: $\mathbf{BC}=\mathbf{BA}+\mathbf{AD}+\mathbf{DC}=-\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{a}=\mathbf{b}-2\mathbf{a}$ $\mathbf{EC}=\frac{1}{4}\mathbf{BC}=\frac{1}{4}(\mathbf{b}-2\mathbf{a})$

3. Вектор $\mathbf{BE}$ будет, соответственно, равен: $\mathbf{BE}=\mathbf{BC}-\mathbf{EC}=(\mathbf{b}-2\mathbf{a})-\frac{1}{4}(\mathbf{b}-2\mathbf{a})=\frac{3}{4}(\mathbf{b}-2\mathbf{a})$

4. Вектор $\mathbf{AE}$ можно получить, используя векторное сложение: $\mathbf{AE}=\mathbf{AB}+\mathbf{BE}=\mathbf{a}+\frac{3}{4}(\mathbf{b}-2\mathbf{a})=\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}-\frac{3}{2}\mathbf{a}=-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}$

Найдем вектор $\mathbf{AK}$:

1. $K$ является серединой $DC$, поэтому: $\mathbf{K}=\frac{\mathbf{D}+\mathbf{C}}{2}$

2. Вектор $\mathbf{C}$ можно выразить через $A$ и $B$: $\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{AB}+\mathbf{BC}=\mathbf{A}+\mathbf{a}+(\mathbf{b}-2\mathbf{a})=\mathbf{A}+\mathbf{b}-\mathbf{a}$

3. Таким образом, $K$ можно записать как: $\mathbf{K}=\frac{\mathbf{D}+(\mathbf{A}+\mathbf{b}-\mathbf{a})}{2}=\frac{\mathbf{A}+\mathbf{b}+\mathbf{A}+\mathbf{b}-\mathbf{a}}{2}=\mathbf{A}+\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{2}$

4. Вектор $\mathbf{AK}$: $\mathbf{AK}=\mathbf{K}-\mathbf{A}=\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{2}=\frac{1}{2}\mathbf{b}-\frac{1}{2}\mathbf{a}$

Найдем вектор $\mathbf{KE}$:

1. Используем выражения для $K$ и $E$: $\mathbf{K}=\mathbf{A}+\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{2}$ $\mathbf{E}=\mathbf{A}+\mathbf{a}+\frac{3}{4}(\mathbf{b}-2\mathbf{a})$

2. Вектор $\mathbf{E}$ можно переписать: $\mathbf{E}=\mathbf{A}+\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}-\frac{3}{2}\mathbf{a}=\mathbf{A}-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}$

3. Вектор $\mathbf{KE}$: $\mathbf{KE}=\mathbf{E}-\mathbf{K}=(\mathbf{A}-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b})-(\mathbf{A}+\frac{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{2})$ $\mathbf{KE}=-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}-\frac{\mathbf{b}}{2}+\frac{\mathbf{a}}{2}=\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{4}\mathbf{b}$

Таким образом, мы получили следующие выражения для векторов: $\mathbf{AE}=-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}$ $\mathbf{AK}=\frac{1}{2}\mathbf{b}-\frac{1}{2}\mathbf{a}$ $\mathbf{KE}=\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{4}\mathbf{b}$

Вектор АЕ = 0.5a, вектор АК = 0.5a + 0.5в, вектор КЕ = 0.5в.