Даны координаты вершин четырехугольника АВСD А(-6;1) В(0;5) С(6;-4) D(0;-8) Доказать что это прямоугольник...

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Стороны, противоположные друг другу, должны быть равны: AB = √((0 - (-6))^2 + (5 - 1)^2) = √(6^2 + 4^2) = √(36 + 16) = √52 BC = √((6 - 0)^2 + (-4 - 5)^2) = √(6^2 + (-9)^2) = √(36 + 81) = √117 CD = √((0 - 6)^2 + (-8 - (-4))^2) = √((-6)^2 + (-4)^2) = √(36 + 16) = √52 AD = √((-6 - 0)^2 + (1 - (-8))^2) = √((-6)^2 + 9^2) = √(36 + 81) = √117

   Таким образом, AB = CD и BC = AD, что соответствует условию прямоугольника.

2. Диагонали должны быть равны между собой: AC = √((6 - (-6))^2 + (-4 - 1)^2) = √(12^2 + (-5)^2) = √(144 + 25) = √169 = 13 BD = √((0 - 0)^2 + (5 - (-8))^2) = √(0 + 13^2) = √169 = 13

   Таким образом, диагонали AC и BD равны между собой, что также является признаком прямоугольника.

Таким образом, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Чтобы найти координаты точек пересечения диагоналей, нужно найти середины диагоналей и соединить их отрезком, который и будет являться линией пересечения диагоналей.

Координаты середины AC: x = (x_A + x_C) / 2 = (-6 + 6) / 2 = 0 y = (y_A + y_C) / 2 = (1 - 4) / 2 = -1.5

Координаты середины BD: x = (x_B + x_D) / 2 = (0 + 0) / 2 = 0 y = (y_B + y_D) / 2 = (5 - 8) / 2 = -1.5

Таким образом, точка пересечения диагоналей имеет координаты (0, -1.5).

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны, а также что они пересекаются под прямым углом. Затем найдем координаты точки пересечения диагоналей.

1. Проверка параллельности и равенства противоположных сторон:

   Для этого найдем векторы, представляющие стороны четырехугольника, и проверим их длину и параллельность.

   • ( \overrightarrow{AB} = B - A = (0 + 6; 5 - 1) = (6; 4) )
   • ( \overrightarrow{BC} = C - B = (6 - 0; -4 - 5) = (6; -9) )
   • ( \overrightarrow{CD} = D - C = (0 - 6; -8 + 4) = (-6; -4) )
   • ( \overrightarrow{DA} = A - D = (-6 - 0; 1 + 8) = (-6; 9) )

   Проверим, равны ли противоположные стороны:

   • Длина ( AB = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} )

   • Длина ( CD = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} )

   • Длина ( BC = \sqrt{6^2 + (-9)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} )

   • Длина ( DA = \sqrt{(-6)^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} )

   Противоположные стороны равны: ( AB = CD ) и ( BC = DA ).

2. Проверка прямых углов:

   Для этого проверим скалярные произведения смежных векторов. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

   • ( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 6 \cdot 6 + 4 \cdot (-9) = 36 - 36 = 0 )
   • ( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 6 \cdot (-6) + (-9) \cdot (-4) = -36 + 36 = 0 )
   • ( \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (-6) \cdot (-6) + (-4) \cdot 9 = 36 - 36 = 0 )
   • ( \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-6) \cdot 6 + 9 \cdot 4 = -36 + 36 = 0 )

   Все углы прямые, следовательно, ABCD — прямоугольник.

3. Нахождение точки пересечения диагоналей:

   Выразим диагонали через уравнения и найдем их точку пересечения.

   • Уравнение диагонали ( AC ):

     Пусть ( A(x_1, y_1) = (-6, 1) ) и ( C(x_2, y_2) = (6, -4) ).

     Уравнение: ( y - 1 = \frac{-4 - 1}{6 + 6}(x + 6) )

     [ y - 1 = -\frac{5}{12}(x + 6) ]

     [ y = -\frac{5}{12}x - \frac{30}{12} + 1 ]

     [ y = -\frac{5}{12}x - \frac{18}{12} ]

     [ y = -\frac{5}{12}x - \frac{3}{2} ]

   • Уравнение диагонали ( BD ):

     Пусть ( B(x_3, y_3) = (0, 5) ) и ( D(x_4, y_4) = (0, -8) ).

     Уравнение: ( y - 5 = \frac{-8 - 5}{0 - 0}(x - 0) )

     Здесь линия вертикальная, так что ( x = 0 ).

   Теперь найдем точку пересечения:

   Подставим ( x = 0 ) в уравнение диагонали ( AC ):

   [ y = -\frac{5}{12}(0) - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} ]

   Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей: ( (0, -\frac{3}{2}) ).

Итак, мы доказали, что четырехугольник ABCD — это прямоугольник, и нашли координаты точки пересечения его диагоналей: ( (0, -\frac{3}{2}) ).