Даны координаты вершин прямоугольника АВСD А(-6;1) В(0;5) С(6;-4) D(0;8) 1) докажите что АВСD прямоугольник...

1) Чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. Для этого вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA и проверим их равенство: AB = √((0 - (-6))^2 + (5 - 1)^2) = √(36 + 16) = √52 BC = √((6 - 0)^2 + (-4 - 5)^2) = √(36 + 81) = √117 CD = √((0 - 6)^2 + (8 - (-4))^2) = √(36 + 144) = √180 DA = √((-6 - 0)^2 + (1 - 8)^2) = √(36 + 49) = √85 Таким образом, AB ≠ BC ≠ CD ≠ DA, следовательно, ABCD не является прямоугольником.

2) Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей, найдем уравнения диагоналей и решим их систему: Уравнение диагонали AC: y = kx + b k = (5 - (-4)) / (0 - 6) = 9 / (-6) = -1.5 b = 5 - (-1.5 0) = 5 Уравнение диагонали BD: y = mx + c m = (8 - 1) / (0 - (-6)) = 1.1667 c = 8 - (1.1667 0) = 8 Теперь решим систему уравнений: y = -1.5x + 5 y = 1.1667x + 8 -1.5x + 5 = 1.1667x + 8 -2.6667x = 3 x = -1.125 y = -1.5 * (-1.125) + 5 = 6.6875 Итак, координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD равны (-1.125; 6.6875).

Для того чтобы доказать, что фигура ABCD является прямоугольником, и найти координаты точки пересечения диагоналей, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Доказательство, что ABCD является прямоугольником

Проверка длины сторон:

Для начала, вычислим длины всех сторон прямоугольника. Длина стороны между двумя точками ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)) вычисляется по формуле: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

• Длина стороны AB: [ AB = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} ]

• Длина стороны BC: [ BC = \sqrt{(6 - 0)^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-9)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} ]

• Длина стороны CD: [ CD = \sqrt{(6 - 0)^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{6^2 + (-12)^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} ]

• Длина стороны DA: [ DA = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (8 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} ]

Проверка диагоналей:

• Длина диагонали AC: [ AC = \sqrt{(6 - (-6))^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 ]

• Длина диагонали BD: [ BD = \sqrt{(6 - 0)^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{6^2 + (-12)^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} ]

Диагонали прямоугольника должны быть равны, но в данном случае они не равны, что говорит о том, что ABCD не является прямоугольником.

2. Нахождение координат точки пересечения диагоналей

Для нахождения точки пересечения диагоналей, воспользуемся свойством, что точка пересечения диагоналей делит их пополам.

Координаты середины отрезка между точками ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)) вычисляются по формуле: [ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) ]

• Точка пересечения диагонали AC: [ \left( \frac{-6 + 6}{2}, \frac{1 + (-4)}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{-3}{2} \right) = (0, -1.5) ]

• Точка пересечения диагонали BD: [ \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{8 + (-4)}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{4}{2} \right) = (3, 2) ]

Как видно, точки пересечения диагоналей не совпадают, что подтверждает, что ABCD не является прямоугольником.

Таким образом, фигура ABCD не является прямоугольником, и координаты точек пересечения диагоналей различны:

• Диагональ AC пересекается в точке (0, -1.5)
• Диагональ BD пересекается в точке (3, 2)