Даны координаты вершин тетраэдра MABC: M(2;5;7), A(1;-3;2), B(2;3;7), C(3;6;0) . Найдите расстояние...

Для начала найдем координаты точки О, которая является центром масс треугольника ABC. Для этого найдем средние значения координат вершин:

x = (1 + 2 + 3) / 3 = 2 y = (-3 + 3 + 6) / 3 = 2 z = (2 + 7 + 0) / 3 = 3

Таким образом, координаты точки О равны (2;2;3).

Теперь найдем координаты векторов, соединяющих точки М и О:

\overrightarrow{MO} = (2-2; 5-2; 7-3) = (0; 3; 4)

Теперь найдем координаты точки пересечения медиан треугольника ABC. Для этого найдем средние значения координат вершин:

x = (1 + 2 + 3 + 2) / 4 = 2 y = (-3 + 3 + 6 + 6) / 4 = 1.5 z = (2 + 7 + 0 + 7) / 4 = 4

Таким образом, координаты точки пересечения медиан равны (2;1.5;4).

Теперь найдем координаты вектора, соединяющего точки М и точку пересечения медиан:

\overrightarrow{MI} = (2-2; 5-1.5; 7-4) = (0; 3.5; 3)

Наконец, найдем расстояние от точки М до точки О:

d = |\overrightarrow{MO}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.

Таким образом, расстояние от точки М до точки О пересечения медиан треугольника ABC равно 5.

Для решения задачи сначала найдём координаты точки ( O ), которая является центром масс (или центроидом) треугольника ( ABC ). Координаты центроида треугольника определяются как среднее арифметическое координат его вершин. Таким образом, координаты точки ( O ) будут:

[ O\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) ]

Подставляя значения координат точек ( A(1, -3, 2) ), ( B(2, 3, 7) ) и ( C(3, 6, 0) ):

[ O\left(\frac{1 + 2 + 3}{3}, \frac{-3 + 3 + 6}{3}, \frac{2 + 7 + 0}{3}\right) = O\left(\frac{6}{3}, \frac{6}{3}, \frac{9}{3}\right) = O(2, 2, 3) ]

Теперь, когда мы знаем координаты точек ( M(2, 5, 7) ) и ( O(2, 2, 3) ), можно найти расстояние между этими точками по формуле евклидова расстояния:

[ d = \sqrt{(x_M - x_O)^2 + (y_M - y_O)^2 + (z_M - z_O)^2} ]

Подставим координаты:

[ d = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Таким образом, расстояние от точки ( M ) до точки ( O ) равно 5 единицам.