Даны точки А ( -1; 2;1), В ( 3; 0;1) , С ( 2;-1;0) , и Д ( 2;1;2). Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и СД.
Даны точки А ( -1; 2;1), В ( 3; 0;1) , С ( 2;-1;0) , и Д ( 2;1;2). Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и СД.
Для нахождения расстояния между серединами отрезков АВ и СД необходимо найти координаты середин этих отрезков и затем вычислить расстояние между этими точками по формуле расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.
Для начала найдем координаты середин отрезков АВ и СД.
Середина отрезка АВ: x = (x₁ + x₂) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1 y = (y₁ + y₂) / 2 = (2 + 0) / 2 = 1 z = (z₁ + z₂) / 2 = (1 + 1) / 2 = 1
Середина отрезка СД: x = (x₃ + x₄) / 2 = (2 + 2) / 2 = 2 y = (y₃ + y₄) / 2 = (-1 + 1) / 2 = 0 z = (z₃ + z₄) / 2 = (0 + 2) / 2 = 1
Теперь найдем расстояние между этими двумя точками, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²) d = √((2 - 1)² + (0 - 1)² + (1 - 1)²) d = √(1 + 1 + 0) d = √2
Таким образом, расстояние между серединами отрезков АВ и СД равно √2.
Чтобы найти расстояние между серединами отрезков ( AB ) и ( CD ), сначала нужно определить координаты этих середины.
Найдём середину отрезка ( AB ): Пусть середина отрезка ( AB ) имеет координаты ( M ). Тогда координаты ( M ) можно найти по формуле: [ M_x = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad M_y = \frac{y_A + y_B}{2}, \quad M_z = \frac{z_A + z_B}{2} ] Подставляем координаты точек ( A(-1, 2, 1) ) и ( B(3, 0, 1) ): [ M_x = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 ] [ M_y = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1 ] [ M_z = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 ] Следовательно, середина отрезка ( AB ) имеет координаты ( M(1, 1, 1) ).
Найдём середину отрезка ( CD ): Пусть середина отрезка ( CD ) имеет координаты ( N ). Тогда координаты ( N ) можно найти по той же формуле: [ N_x = \frac{x_C + x_D}{2}, \quad N_y = \frac{y_C + y_D}{2}, \quad N_z = \frac{z_C + z_D}{2} ] Подставляем координаты точек ( C(2, -1, 0) ) и ( D(2, 1, 2) ): [ N_x = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 ] [ N_y = \frac{-1 + 1}{2} = \frac{0}{2} = 0 ] [ N_z = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 ] Следовательно, середина отрезка ( CD ) имеет координаты ( N(2, 0, 1) ).
Теперь найдём расстояние между точками ( M(1, 1, 1) ) и ( N(2, 0, 1) ): Расстояние между двумя точками в пространстве ( (x_1, y_1, z_1) ) и ( (x_2, y_2, z_2) ) вычисляется по формуле: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ] Подставляем координаты точек ( M(1, 1, 1) ) и ( N(2, 0, 1) ): [ d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 1)^2 + (1 - 1)^2} ] [ d = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} ] [ d = \sqrt{1 + 1 + 0} ] [ d = \sqrt{2} ]
Таким образом, расстояние между серединами отрезков ( AB ) и ( CD ) равно ( \sqrt{2} ).
