Даны точки A ( -2; -3), B (-3;4), C (4;5). Докажите, что в треугольнике ABC углы A и C равны.

Для доказательства того, что углы ( \angle A ) и ( \angle C ) равны в треугольнике ( ABC ), мы можем воспользоваться геометрическим подходом и свойствами векторов. Это доказательство строится на проверке равенства косинусов углов между сторонами треугольника, используя скалярное произведение векторов.

1. Построение векторов

Сначала найдём векторы, соответствующие сторонам треугольника:

• ( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - (-2); 4 - (-3)) = (-1; 7) ),
• ( \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (4 - (-2); 5 - (-3)) = (6; 8) ),
• ( \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (4 - (-3); 5 - 4) = (7; 1) ).

Теперь у нас есть векторы: [ \vec{AB} = (-1; 7), \quad \vec{AC} = (6; 8), \quad \vec{BC} = (7; 1). ]

2. Условие равенства углов

Углы ( \angle A ) и ( \angle C ) равны, если соответствующие стороны треугольника, исходящие из этих углов, имеют одинаковый косинус угла между ними. То есть необходимо показать, что:

[ \cos \angle A = \cos \angle C. ]

Для этого используем формулу косинуса угла между двумя векторами: [ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}, ] где ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) — скалярное произведение векторов, а ( |\vec{u}| ) и ( |\vec{v}| ) — их длины.

3. Найдём косинус угла ( \angle A )

Угол ( \angle A ) образован векторами ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ). Найдём их скалярное произведение: [ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 6 + 7 \cdot 8 = -6 + 56 = 50. ]

Теперь найдём длины векторов: [ |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}, ] [ |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. ]

Подставляем в формулу косинуса: [ \cos \angle A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{50}{\sqrt{50} \cdot 10} = \frac{50}{10\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. ]

4. Найдём косинус угла ( \angle C )

Угол ( \angle C ) образован векторами ( \vec{BC} ) и ( \vec{AC} ). Найдём их скалярное произведение: [ \vec{BC} \cdot \vec{AC} = 7 \cdot 6 + 1 \cdot 8 = 42 + 8 = 50. ]

Теперь найдём длины векторов: [ |\vec{BC}| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}, ] [ |\vec{AC}| = 10 \quad \text{(уже вычислено ранее)}. ]

Подставляем в формулу косинуса: [ \cos \angle C = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{AC}}{|\vec{BC}| |\vec{AC}|} = \frac{50}{\sqrt{50} \cdot 10} = \frac{50}{10\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. ]

5. Вывод

Мы получили, что: [ \cos \angle A = \cos \angle C = \frac{1}{\sqrt{2}}. ]

Следовательно, углы ( \angle A ) и ( \angle C ) равны. Таким образом, в треугольнике ( ABC ) углы при вершинах ( A ) и ( C ) равны. ( \boxed{\text{Доказано.}} )

Чтобы доказать, что углы A и C в треугольнике ABC равны, можно использовать метод проверки равенства углов через векторы.

1. Найдем векторы:

   • Вектор AB: ( \vec{AB} = B - A = (-3 - (-2), 4 - (-3)) = (-1, 7) )
   • Вектор AC: ( \vec{AC} = C - A = (4 - (-2), 5 - (-3)) = (6, 8) )
   • Вектор BC: ( \vec{BC} = C - B = (4 - (-3), 5 - 4) = (7, 1) )

2. Найдем углы A и C через скалярное произведение:

   • Угол A между векторами AB и AC: [ \cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} ]
   • Угол C между векторами BC и AC: [ \cos(C) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{AC}}{|\vec{BC}| |\vec{AC}|} ]

3. Если ( \cos(A) = \cos(C) ), значит, углы A и C равны.

Таким образом, если вектора имеют одинаковые углы наклона относительно горизонтали, то углы A и C равны.

Чтобы доказать, что углы A и C равны в треугольнике ABC, мы можем воспользоваться теорией о равенстве углов, основанной на свойствах сторон треугольника и его координатах. В данном случае мы используем метод векторов и скалярное произведение.

1. Найдем векторы AB и AC:

   • Вектор ( \vec{AB} = B - A = (-3 - (-2), 4 - (-3)) = (-1, 7) )
   • Вектор ( \vec{AC} = C - A = (4 - (-2), 5 - (-3)) = (6, 8) )

2. Найдем длины векторов:

   • Длина вектора ( \vec{AB} ): [ |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]
   • Длина вектора ( \vec{AC} ): [ |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 ]

3. Найдем вектор BC:

   • Вектор ( \vec{BC} = C - B = (4 - (-3), 5 - 4) = (7, 1) )

4. Найдем длину вектора BC:

   • Длина вектора ( \vec{BC} ): [ |\vec{BC}| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

5. Теперь найдем углы A и C при помощи скалярного произведения**:

   • Скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ): [ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 6 + 7 \cdot 8 = -6 + 56 = 50 ]

   • Скалярное произведение векторов ( \vec{BC} ) и ( \vec{AC} ): [ \vec{BC} \cdot \vec{AC} = 7 \cdot 6 + 1 \cdot 8 = 42 + 8 = 50 ]

6. Используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: [ \cos(\angle A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{50}{(5\sqrt{2}) \cdot 10} = \frac{50}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \angle A = 45^\circ ]

   [ \cos(\angle C) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{AC}}{|\vec{BC}| |\vec{AC}|} = \frac{50}{(5\sqrt{2}) \cdot 10} = \frac{50}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \angle C = 45^\circ ]

7. Заключение: Мы получили, что ( \angle A = \angle C = 45^\circ ). Таким образом, углы A и C в треугольнике ABC равны.

Это доказывает, что углы A и C равны.