Даны точки А (2; -3), В (-4; 1), С (-3; -2). Найдите: а) координаты векторов АВ, СВ; б) координаты середин отрезков А С, ВС; в) расстояния между точками А и В, В и С
Даны точки А (2; -3), В (-4; 1), С (-3; -2). Найдите: а) координаты векторов АВ, СВ; б) координаты середин отрезков А С, ВС; в) расстояния между точками А и В, В и С
а) Координаты вектора АВ: AB = (x2 - x1; y2 - y1) = (-4 - 2; 1 - (-3)) = (-6; 4)
Координаты вектора СВ: CB = (x2 - x1; y2 - y1) = (-4 - (-3); 1 - (-2)) = (-1; 3)
б) Координаты середин отрезков АС и ВС: Середина отрезка АС: ( (2-3)/2; (-3-(-2))/2 ) = (-0.5; -2.5) Середина отрезка ВС: ( (-4-(-3))/2; (1-(-2))/2 ) = (-3.5; -0.5)
в) Расстояние между точками А и В: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((-4 - 2)² + (1 - (-3))²) = √((-6)² + (4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13
Расстояние между точками В и С: BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((-3 - (-4))² + (-2 - 1)²) = √((-3 + 4)² + (-3)²) = √(1² + 9) = √10
а) Для нахождения координат векторов воспользуемся определением координат вектора, которые вычисляются как разность координат конечной и начальной точек.
Координаты вектора АВ: ( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-4 - 2; 1 + 3) = (-6; 4) )
Координаты вектора СВ: ( \vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (-4 + 3; 1 + 2) = (-1; 3) )
б) Для нахождения координат середин отрезков найдем среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезков.
Координаты середины отрезка АС: ( M_{AC} = \left(\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{2 - 3}{2}; \frac{-3 - 2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}; -\frac{5}{2}\right) )
Координаты середины отрезка ВС: ( M_{BC} = \left(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{-4 - 3}{2}; \frac{1 - 2}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}; -\frac{1}{2}\right) )
в) Расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле Евклида:
Расстояние между точками А и В: ( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 + 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} )
Расстояние между точками В и С: ( BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(-3 + 4)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} )
Таким образом, координаты векторов АВ и СВ: (-6; 4) и (-1; 3) соответственно; координаты середин отрезков АС и ВС: (-0.5; -2.5) и (-3.5; -0.5); расстояния между точками А и В, В и С: (2\sqrt{13}) и (\sqrt{10}) соответственно.
