.Даны точки А(1;- 2), В(2; 4), С(-1; 4), D(1; 16). 1) Разложите вектор AB по координатным векторам i...

1) Вектор AB = В - А = (2 - 1; 4 - (-2)) = (1; 6) = 1i + 6j.

2) Для того чтобы доказать, что AB || CD, нужно показать, что их направляющие векторы коллинеарны. Направляющий вектор AB = (1; 6), а направляющий вектор CD = (1 - (-1); 16 - 4) = (2; 12). Проверим их коллинеарность: (2/1) = (12/6) => 2 = 2, значит AB || CD.

3) Уравнение прямой AD можно найти, используя формулу уравнения прямой в общем виде: y - y₁ = k(x - x₁), где (x₁; y₁) - координаты точки, k - коэффициент наклона прямой. Для прямой AD координаты точек A(1;-2) и D(1;16), следовательно, x₁ = 1, y₁ = -2. Найдем k: k = (16 - (-2)) / (1 - 1) = 18 / 0 - не определен. Так как коэффициент наклона не определен, значит прямая параллельна оси ординат и уравнение будет иметь вид x = 1.

1) Вектор AB можно разложить на координатные векторы i и j следующим образом: AB = (2 - 1)i + (4 - (-2))j AB = i + 6j

2) Для того чтобы доказать, что AB параллельно CD, нужно показать, что вектор AB коллинеарен вектору CD. Для этого найдем векторы AB и CD: AB = (2 - 1)i + (4 - (-2))j AB = i + 6j

CD = (-1 - 1)i + (4 - 16)j CD = -2i - 12j

Теперь найдем их отношение: i/1 = -2/1 j/6 = -12/6

Отсюда видно, что AB и CD коллинеарны, следовательно, AB || CD.

3) Уравнение прямой AD можно найти, используя уравнение прямой в общем виде: y = kx + b, где k - угловой коэффициент, b - свободный член.

Найдем угловой коэффициент k: k = (y2 - y1)/(x2 - x1) k = (16 - (-2))/(1 - 1) k = 18/0 (деление на 0, значит прямая вертикальная, уравнение прямой AD: x = 1.

Давайте разберем поэтапно каждое из заданий.

1) Разложите вектор AB по координатным векторам i и j

Вектор ( \mathbf{AB} ) можно представить как разность координат точки B и точки A.

Координаты точки A: ( A(1, -2) )
Координаты точки B: ( B(2, 4) )

Вектор ( \mathbf{AB} ) = ( (B_x - A_x, B_y - A_y) )

Подставим значения:

[ \mathbf{AB} = (2 - 1, 4 - (-2)) ] [ \mathbf{AB} = (1, 6) ]

Теперь разложим вектор ( \mathbf{AB} ) по координатным векторам ( \mathbf{i} ) и ( \mathbf{j} ):

[ \mathbf{AB} = 1 \cdot \mathbf{i} + 6 \cdot \mathbf{j} ]

Итак, вектор ( \mathbf{AB} ) в координатах:

[ \mathbf{AB} = \mathbf{i} + 6\mathbf{j} ]

2) Докажите, что ( \mathbf{AB} \parallel \mathbf{CD} )

Для того чтобы доказать, что векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{CD} ) параллельны, нужно показать, что они коллинеарны, то есть один вектор является скалярным множителем другого.

Вычислим координаты вектора ( \mathbf{CD} ).

Координаты точки C: ( C(-1, 4) )
Координаты точки D: ( D(1, 16) )

Вектор ( \mathbf{CD} ) = ( (D_x - C_x, D_y - C_y) )

Подставим значения:

[ \mathbf{CD} = (1 - (-1), 16 - 4) ] [ \mathbf{CD} = (2, 12) ]

Теперь проверим, можно ли выразить ( \mathbf{CD} ) через ( \mathbf{AB} ) с каким-то скалярным множителем ( k ).

Вектор ( \mathbf{AB} = (1, 6) )
Вектор ( \mathbf{CD} = (2, 12) )

Очевидно, что ( \mathbf{CD} = 2 \cdot \mathbf{AB} ), так как:

[ (2, 12) = 2 \cdot (1, 6) ]

Следовательно, векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{CD} ) параллельны.

3) Напишите уравнение прямой AD

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки A и D, используем уравнение прямой в общем виде: ( y = kx + b ), где ( k ) — угловой коэффициент (наклон), а ( b ) — свободный член.

Найдем угловой коэффициент ( k ):

[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ]

Подставим координаты точек A и D:

[ k = \frac{16 - (-2)}{1 - 1} ]

Однако, тут мы видим, что ( x_2 - x_1 ) равно нулю, что свидетельствует о том, что прямая вертикальна и параллельна оси ( y ). Уравнение вертикальной прямой имеет вид:

[ x = x_1 ]

Так как ( x_1 = 1 ) (координата ( x ) точки A), то уравнение прямой AD:

[ x = 1 ]

Таким образом, уравнение прямой AD:

[ x = 1 ]

Итак, мы получили развёрнутые ответы на все задания.