Даны вектора а(6;-1;-5), в(х;2;10) При каком значении х векторы; 1) Коллинеарные 2) Перпендикулярные.

1) Векторы а и в коллинеарны, если они параллельны и имеют одинаковое или противоположное направление. Для того чтобы векторы а и в были коллинеарными, необходимо, чтобы они были пропорциональными.

То есть, вектор а = λ вектор в, где λ - некоторое число. Подставим координаты векторов и найдем значение х: 6 = λ x -1 = λ 2 -5 = λ 10

Из второго уравнения получаем λ = -1/2. Подставляем λ в первое уравнение и находим значение х: 6 = (-1/2) * x x = -12

Таким образом, при х = -12 векторы а(6;-1;-5) и в(-12;2;10) будут коллинеарными.

2) Векторы а и в перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Для того чтобы векторы а и в были перпендикулярными, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

То есть, а в = 6x + (-1)2 + (-5)*10 = 0. Решим уравнение: 6x - 2 - 50 = 0 6x - 52 = 0 6x = 52 x = 52/6 x = 8.67

Таким образом, при х ≈ 8.67 векторы а(6;-1;-5) и в(8.67;2;10) будут перпендикулярными.

Чтобы решить задачу о коллинеарности и перпендикулярности векторов ( \mathbf{a} = (6, -1, -5) ) и ( \mathbf{b} = (x, 2, 10) ), рассмотрим два условия:

1. Коллинеарность векторов:

   Два вектора считаются коллинеарными, если один из них является скалярным произведением другого, то есть существует число ( k ), такое что:

   [ \mathbf{b} = k \mathbf{a} ]

   Это приводит к следующим уравнениям:

   [ x = 6k ]

   [ 2 = -1k \quad \Rightarrow \quad k = -2 ]

   [ 10 = -5k \quad \Rightarrow \quad k = -2 ]

   Из второго и третьего уравнений видно, что ( k = -2 ). Подставляя ( k = -2 ) в первое уравнение, получаем:

   [ x = 6 \times (-2) = -12 ]

   Таким образом, для коллинеарности векторов значение ( x ) должно быть равно (-12).

2. Перпендикулярность векторов:

   Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

   [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 ]

   Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) вычисляется как:

   [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6x + (-1) \times 2 + (-5) \times 10 ]

   Упростим выражение:

   [ 6x - 2 - 50 = 0 ]

   [ 6x - 52 = 0 ]

   [ 6x = 52 ]

   [ x = \frac{52}{6} = \frac{26}{3} ]

   Таким образом, для перпендикулярности векторов значение ( x ) должно быть равно (\frac{26}{3}).

В заключение:

• Векторы коллинеарны, если ( x = -12 ).
• Векторы перпендикулярны, если ( x = \frac{26}{3} ).