Даны векторы а{-4;3},b{1;-4}, c{6;2}.Разложите вектор с по векторам а и b.

Для разложения вектора c по векторам a и b нужно найти проекции вектора c на вектора a и b. По формуле проекции на вектор a: proj_a(c) = (c a) / |a|^2 a, где обозначает скалярное произведение, |a| - длина вектора a. По формуле проекции на вектор b: proj_b(c) = (c b) / |b|^2 * b.

Для разложения вектора c по векторам a и b необходимо найти коэффициенты a и b, при которых будет выполняться равенство c = a k1 + b k2, где k1 и k2 - коэффициенты.

Для нахождения коэффициентов k1 и k2 используем метод Гаусса. Составляем систему уравнений: -4k1 + k2 = 6 3k1 - 4k2 = 2

Решив данную систему, получаем: k1 = -2 k2 = -2

Таким образом, разложение вектора c по векторам a и b будет выглядеть следующим образом: c = -2a - 2b

Для разложения вектора ( \mathbf{c} ) по векторам ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), нужно найти такие коэффициенты ( x ) и ( y ), чтобы выполнялось равенство:

[ \mathbf{c} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b} ]

Векторы заданы как: [ \mathbf{a} = {-4, 3}, \quad \mathbf{b} = {1, -4}, \quad \mathbf{c} = {6, 2} ]

Это можно записать в виде системы линейных уравнений, соответствующей каждой компоненте векторов:

[ \begin{cases} -4x + 1y = 6 \ 3x - 4y = 2 \end{cases} ]

Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения выразим ( y ): [ y = 6 + 4x ]

Подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение: [ 3x - 4(6 + 4x) = 2 ]

Раскроем скобки: [ 3x - 24 - 16x = 2 ]

Объединим подобные члены: [ -13x - 24 = 2 ]

Переносим -24 в правую часть уравнения: [ -13x = 26 ]

Отсюда находим ( x ): [ x = -2 ]

Теперь подставим значение ( x ) в выражение для ( y ): [ y = 6 + 4(-2) = 6 - 8 = -2 ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{c} ) можно разложить по векторам ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) следующим образом: [ \mathbf{c} = -2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} ]

Подставим и проверим: [ -2\mathbf{a} = -2 \times {-4, 3} = {8, -6} ] [ -2\mathbf{b} = -2 \times {1, -4} = {-2, 8} ]

Сложим полученные векторы: [ {8, -6} + {-2, 8} = {6, 2} ]

Это соответствует вектору ( \mathbf{c} ), что подтверждает корректность разложения: [ \mathbf{c} = -2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} ]