Даны векторы а и b: a=2, b=корень из 2, a^b=135. Найдите |a-2b|

Для решения задачи найдем длину вектора (|\mathbf{a} - 2\mathbf{b}|), где даны векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) с известными величинами (|\mathbf{a}| = 2) и (|\mathbf{b}| = \sqrt{2}), а также угол между ними (\theta = 135^\circ).

Начнем с формулы для разности векторов. Длина вектора (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) находится по следующей формуле: [|\mathbf{a} - 2\mathbf{b}| = \sqrt{(\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b})}]

Раскроем скалярное произведение: [(\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} + 4 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}]

Так как скалярное произведение коммутативно ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a})), можем упростить выражение: [(\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 4 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 4 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}]

Теперь подставим величины: [\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 = 2^2 = 4] [\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2]

Для нахождения (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) используем формулу: [\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta]

Угол (\theta = 135^\circ), и (\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}). Подставим значения: [\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} = -2]

Теперь можем подставить все в выражение: [(\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 4 - 4(-2) + 4 \cdot 2] [= 4 + 8 + 8 = 20]

Следовательно, длина вектора: [|\mathbf{a} - 2\mathbf{b}| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}]

Ответ: [|\mathbf{a} - 2\mathbf{b}| = 2\sqrt{5}]

|a-2b| = |2 - 2 * √2| = |2 - 2√2| = 2 - 2√2.

Для начала найдем произведение векторов a и b:

a b = 2 корень из 2 = 2 * √2

Затем найдем значение a^b:

a^b = 135

Теперь найдем значение вектора a - 2b:

a - 2b = 2 - 2 * √2

Для нахождения модуля этого вектора используем формулу для нахождения модуля вектора на плоскости:

|a - 2b| = √((2 - 2 * √2)^2) = √(4 - 8√2 + 8) = √12 - 8√2

Таким образом, модуль вектора a - 2b равен √12 - 8√2.