Даны векторы а и b, причем │a│= 6, │b│= 3 (a b)=120. Найдите │а + 2b│.

Давайте начнем с того, что разберем все данные, которые у нас есть:

1. Длины векторов a и b: [ |a| = 6 ] [ |b| = 3 ]

2. Угол между векторами a и b: [ (a, b) = 120^\circ ]

Нам нужно найти длину вектора ( |a + 2b| ).

Сначала используем формулу для нахождения длины суммы двух векторов:

[ |a + 2b|^2 = |a|^2 + |2b|^2 + 2|a||2b|\cos \theta ]

где (\theta) — угол между векторами a и b.

Теперь подставим известные значения:

1. Вычислим ( |2b| ): [ |2b| = 2|b| = 2 \cdot 3 = 6 ]

2. Найдем ( |a|^2 ) и ( |2b|^2 ): [ |a|^2 = 6^2 = 36 ] [ |2b|^2 = 6^2 = 36 ]

3. Найдем угол (\theta): [ \theta = 120^\circ ]

4. Вычислим ( \cos 120^\circ ): [ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} ]

Теперь подставим все это в нашу формулу:

[ |a + 2b|^2 = 36 + 36 + 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) ]

Сначала вычислим ( 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) ):

[ 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot -0.5 = 2 \cdot 6 \cdot -3 = -36 ]

Теперь подставим это значение в формулу:

[ |a + 2b|^2 = 36 + 36 - 36 = 36 ]

Теперь найдем ( |a + 2b| ), взяв квадратный корень из 36:

[ |a + 2b| = \sqrt{36} = 6 ]

Итак, длина вектора ( |a + 2b| ) равна 6.

Для нахождения длины вектора a + 2b мы можем воспользоваться свойствами скалярного произведения.

Сначала найдем вектор a + 2b: a + 2b = a + b + b

Теперь найдем длину этого вектора: |a + 2b| = sqrt((a + 2b)(a + 2b)) = sqrt((a + b + b)(a + b + b))

Так как скалярное произведение раскрывается как (a + b)*(a + b) = |a|^2 + 2(a b) + |b|^2, то:

|a + 2b| = sqrt(|a|^2 + 2(a b) + |b|^2) = sqrt(6^2 + 2120 + 3^2) = sqrt(36 + 240 + 9) = sqrt(285) = 15sqrt(5)

Таким образом, длина вектора a + 2b равна 15*sqrt(5).