Даны вершины треугольника : А( -1 ; -2 ;4 ), В( -4; -2; 0), С ( 3; -2; 1 ). Найдите угол треугольника...

Для нахождения угла треугольника при вершине A необходимо использовать векторный подход. Начнем с определения векторов AB и AC, исходящих из точки A.

Вектор AB имеет координаты: [ \vec{AB} = B - A = (-4 - (-1), -2 - (-2), 0 - 4) = (-3, 0, -4) ]

Вектор AC имеет координаты: [ \vec{AC} = C - A = (3 - (-1), -2 - (-2), 1 - 4) = (4, 0, -3) ]

Затем, для определения угла между этими векторами, используем формулу нахождения угла между векторами через их скалярное произведение: [ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} ]

Скалярное произведение (\vec{AB}) и (\vec{AC}): [ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 4 + 0 \cdot 0 + (-4) \cdot (-3) = -12 + 12 = 0 ]

Модули векторов (\vec{AB}) и (\vec{AC}): [ |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ] [ |\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 ]

Теперь подставим в формулу: [ \cos(\theta) = \frac{0}{5 \cdot 5} = 0 ]

Значение косинуса равно 0, что означает, что угол (\theta) между векторами (\vec{AB}) и (\vec{AC}) равен 90°. Таким образом, угол треугольника при вершине A равен 90°.

Для нахождения угла треугольника при вершине А необходимо найти векторы AB и AC, затем найти их скалярное произведение, и найти косинус угла между этими векторами. Далее, используя формулу косинуса, найдем значение угла.

1. Найдем векторы AB и AC: AB = B - A = (-4 + 1; -2 + 2; 0 - 4) = (-3; 0; -4) AC = C - A = (3 + 1; -2 + 2; 1 - 4) = (4; 0; -3)

2. Найдем скалярное произведение векторов AB и AC: AB AC = (-3 4) + (0 0) + (-4 -3) = -12 + 0 + 12 = 0

3. Найдем длины векторов AB и AC: |AB| = √((-3)^2 + 0^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 |AC| = √(4^2 + 0^2 + (-3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

4. Найдем косинус угла между векторами AB и AC: cos(∠BAC) = (AB AC) / (|AB| |AC|) = 0 / (5 * 5) = 0

5. Наконец, найдем угол ∠BAC: ∠BAC = arccos(0) = 90°

Таким образом, угол треугольника при вершине А равен 90 градусов.