Даю 50 баллов, Прямая параллельная стороне MF треугольника MNF, пересекает его сторону MN в точке D,...

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства параллельных линий и подобия треугольников.

Даны:

• Прямая параллельная стороне ( MF ) пересекает ( MN ) в точке ( D ) и ( NF ) в точке ( K ).
• ( DK = 9 ) см.
• ( MF = 27 ) см.
• Площадь треугольника ( \triangle MNF = 72 ) см².

Поскольку ( DK \parallel MF ), трапеция ( MDKF ) является равнобокой, и треугольники ( \triangle MDK ) и ( \triangle MFK ) подобны треугольнику ( \triangle MNF ).

1. Подобие треугольников:

   Треугольники ( \triangle MDK ) и ( \triangle MFK ) подобны ( \triangle MNF ) по двум параллельным сторонам: [ \frac{DK}{MF} = \frac{MD}{MN} = \frac{MK}{MF} ]

   [ \frac{9}{27} = \frac{1}{3} ]

   Таким образом, коэффициент подобия между треугольниками ( \triangle MDK ) и ( \triangle MNF ) равен (\frac{1}{3}).

2. Площадь треугольника ( \triangle MDK ):

   Площадь треугольника ( \triangle MDK ) будет в ((\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}) раз меньше площади треугольника ( \triangle MNF ): [ S_{MDK} = \frac{1}{9} \times 72 = 8 \text{ см}^2 ]

3. Площадь трапеции ( MDKF ):

   Площадь трапеции ( MDKF ) можно найти, вычтя площадь треугольника ( \triangle MDK ) из площади треугольника ( \triangle MNF ): [ S{MDKF} = S{MNF} - S_{MDK} = 72 - 8 = 64 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь трапеции ( MDKF ) равна ( 64 ) см².

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту треугольника MNF, проведенную из вершины N к основанию MF. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, то высота треугольника MNF равна (2 * 72) / 27 = 4 см.

Так как прямая DK параллельна стороне MF треугольника MNF, то треугольники MDF и MNF подобны. Поэтому отношение сторон этих треугольников равно отношению высот треугольников, то есть:

MD / MF = DF / NF

Подставляя известные значения, получаем:

MD / 27 = 4 / 27

MD = 4 см

Теперь, для нахождения площади трапеции MDKF, можно воспользоваться формулой для площади трапеции: S = (сумма оснований * высота) / 2. Подставляем известные значения:

S = (MD + DK) (MF - NF) / 2 = (4 + 9) (27 - 4) / 2 = 13 * 23 / 2 = 149 см2

Итак, площадь трапеции MDKF равна 149 квадратных сантиметров.

Площадь трапеции MDKF равна 135 см2.