даю 60 баллов
№1
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, BC = 6 см, AD = 14 см, а отрезок BO на 2 см меньше отрезка OD. Найдите диагональ BD трапеции.
№2
Через точку A, находящуюся на расстоянии 5 см от центра окружности радиуса 11 см, проведена хорда, которую точка A делит на отрезки, длины которых относятся как 2 : 3. Найдите длину этой хорды.
Дана трапеция ABCD, где ( BC = 6 ) см, ( AD = 14 ) см, и диагонали пересекаются в точке O так, что ( BO + 2 = OD ).
Шаг 1: Обозначим ( BO = x ), тогда ( OD = x + 2 ).
Шаг 2: Из свойства диагоналей трапеции, которые делятся точкой пересечения в отношении, пропорциональном длинам оснований, получаем: [ \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} ] Теперь можем записать уравнение: [ \frac{x}{x + 2} = \frac{3}{7} ] Решая это уравнение, найдем ( x ): [ 7x = 3x + 6 \implies 4x = 6 \implies x = 1.5 ] Таким образом, ( BO = 1.5 ) см и ( OD = 3.5 ) см.
Шаг 3: Используем теорему Пифагора для треугольника BOD (принимая BD за гипотенузу): [ BD^2 = BO^2 + OD^2 = 1.5^2 + 3.5^2 = 2.25 + 12.25 = 14.5 ] [ BD = \sqrt{14.5} \approx 3.81 \text{ см} ]
Дано: ( OA = 5 ) см, радиус ( r = 11 ) см, и точка A делит хорду на отрезки с отношением 2:3.
Шаг 1: Пусть ( AP = 2x ) и ( AQ = 3x ), тогда длина хорды ( PQ = 5x ).
Шаг 2: Так как A делит хорду в заданном отношении и находится вне окружности, она является проекцией центра окружности O на хорду PQ. По теореме Пифагора для треугольника OAP (где OP - радиус, OA - расстояние от центра до прямой хорды): [ OP^2 = OA^2 + AP^2 \implies 11^2 = 5^2 + (2x)^2 \implies 121 = 25 + 4x^2 \implies 96 = 4x^2 \implies x^2 = 24 \implies x = 2\sqrt{6} ] Таким образом, ( PQ = 5x = 10\sqrt{6} \approx 24.5 ) см.
Ответ №1: Диагональ BD трапеции равна 10 см. Ответ №2: Длина хорды равна 8 см.
Пусть OD = х, тогда BO = х - 2. Так как диагонали трапеции делятся друг на друга пополам, то AO = OD = х. Также, так как AO является медианой треугольника ABD, то мы можем применить теорему о медиане, которая гласит, что медиана треугольника делит противоположную сторону в отношении 1:2. Таким образом, AD = 2*BD. Из условия задачи мы знаем, что AD = 14 см, следовательно BD = 7 см. Зная BD, можно найти длину диагонали BD с помощью теоремы Пифагора: BD^2 = (BC^2 + CD^2) = (BC^2 + AD^2 - BD^2), откуда CD = √(BC^2 + AD^2 - BD^2) = √(6^2 + 14^2 - 7^2) = √(36 + 196 - 49) = √183 см.
Пусть точка B - центр окружности, а точка C - проекция точки A на окружность. Так как хорда делится точкой A на отрезки длиной 2k и 3k, то она делится также на отрезки радиуса в соответствующем отношении. Пусть AC = 2k, то BC = 3k. Так как АС - высота равнобедренного треугольника ABC, то применим теорему Пифагора к треугольнику ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2 = 11^2, откуда k = 3. Таким образом, длина хорды равна 5 + 2k + 3k = 5 + 23 + 33 = 5 + 6 + 9 = 20 см.
