ДАВС-правильная треугольная пирамида,сторона основания 3 корня из 3 см,а боковое ребро 5 см. МС-медиана...

Для решения задачи о нахождении площади треугольника MDS в правильной треугольной пирамиде DABC с данными сторонами, следует выполнить несколько шагов.

1. Исходные данные и обозначения:

   • Треугольная пирамида DABC правильная.
   • Сторона основания (AB = BC = CA = 3\sqrt{3} ) см.
   • Боковое ребро (DA = DB = DC = 5 ) см.
   • Медиана треугольника (ABC) - отрезок (MS), где (M) - середина стороны (BC).

2. Нахождение длины медианы (MS):

   • В правильном треугольнике медиана выражается через сторону. Для треугольника (ABC) длина медианы (MS) из вершины (A) к стороне (BC) можно найти по формуле: [ MS = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}} ]
   • Подставляя значения сторон: [ MS = \sqrt{\frac{2(3\sqrt{3})^2 + 2(3\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{3})^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \times 27 + 2 \times 27 - 27}{4}} = \sqrt{\frac{108}{4}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} ]

3. Нахождение высоты пирамиды DH:

   • Высота (DH) правильной треугольной пирамиды опускается на центр основания треугольника (ABC). В правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести.
   • Центр тяжести делит медианы в отношении 2:1. Высота (H) из вершины (D) на основании (ABC) можно найти из прямоугольного треугольника (DAH): [ AH = \frac{2}{3} \times MS = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} ]
   • Используя теорему Пифагора в треугольнике (DAH): [ DA^2 = DH^2 + AH^2 ] [ DH^2 = DA^2 - AH^2 = 5^2 - (2\sqrt{3})^2 = 25 - 12 = 13 ] [ DH = \sqrt{13} ]

4. Площадь треугольника (MDS):

   • Треугольник (MDS) - прямоугольный треугольник с гипотенузой (DS). Высота пирамиды (DH) перпендикулярна к плоскости (ABC), значит (MS) тоже перпендикулярна (DH).
   • Площадь ( \Delta MDS) можно найти как половину произведения катетов (MS) и (DH): [ S_{MDS} = \frac{1}{2} \times MS \times DH = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times \sqrt{13} = \frac{3\sqrt{39}}{2} ]

Итак, площадь треугольника (MDS) равна: [ S_{MDS} = \frac{3\sqrt{39}}{2} \text{ см}^2 ]

Площадь треугольника МДС равна 6 квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту треугольника МДС, которая будет равна половине высоты пирамиды. Высоту пирамиды можно найти по формуле для правильной треугольной пирамиды:

h = √(a^2 - (a/2)^2) = √(9 - (9/4)) = √(36/4) = √9 = 3 см

Теперь найдем длину медианы МС, которая будет равна половине длины основания треугольника АВС:

MC = √(a^2 + (b/2)^2) = √(9 + (5/2)^2) = √(9 + 6.25) = √15.25 = 3.9 см

Далее найдем площадь треугольника МДС, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:

S = (1/2) a b * sin(∠MDS)

Где угол ∠MDS можно найти через косинус угла при вершине треугольника:

cos(∠MDS) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

cos(∠MDS) = (3^2 + 3.9^2 - 5^2) / (233.9) = (9 + 15.21 - 25) / 23.4 = (24.21 - 25) / 23.4 = -0.036

∠MDS = arccos(-0.036) ≈ 91.8°

Теперь можем найти площадь треугольника МДС:

S = (1/2) 3 3.9 sin(91.8°) ≈ (1/2) 3 3.9 0.999 ≈ 5.85 см^2

Итак, площадь треугольника МДС равна примерно 5.85 квадратных сантиметров.