Диагональ AC прямоугольника ABCD равна 3 см и составляет со стороной AD 30 градусов. Найди площадь прямоугольника...

Для решения задачи найдем стороны прямоугольника ABCD, используя информацию о диагонали и угле.

1. Обозначения и данные:

   • Диагональ $AC=3$ см.
   • Угол между диагональю $AC$ и стороной $AD$ равен ${30}^{\circ }$.

2. Используем тригонометрию: В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются под прямым углом, деля прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник $\mathrm{\Delta }ACD$.

   В этом треугольнике:

   • $AC$ — гипотенуза,
   • $AD$ и $DC$ — катеты.

   По условию, угол между гипотенузой $AC$ и катетом $AD$ равен ${30}^{\circ }$.

3. Используем тригонометрические функции для нахождения катетов:

   • $AD=AC\cdot \cos ({30}^{\circ }$ )
   • $DC=AC\cdot \sin ({30}^{\circ }$ )

   Подставим значения:

   • $\cos ({30}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{3}}{2} )
   • $\sin ({30}^{\circ }$ = \frac{1}{2} )

   Таким образом:

   • $AD=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
   • $DC=3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

4. Нахождение площади прямоугольника: Площадь прямоугольника $ABCD$ равна произведению его сторон $AD$ и $DC$: $S=AD\cdot DC=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \left(\frac{3}{2}\right)$

5. Вычисление площади: $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$

   Таким образом, площадь прямоугольника $ABCD$ равна $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ квадратных сантиметров.

Ответ: Площадь прямоугольника $ABCD$ составляет $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ квадратных сантиметров.

Для нахождения площади прямоугольника ABCD нам необходимо знать длины его сторон. Мы знаем, что диагональ AC равна 3 см и составляет с одной из сторон угол в 30 градусов.

Для начала найдем длину стороны AD. Мы можем использовать косинус угла 30 градусов и формулу косинусов:

cos$30°$ = AD / AC cos$30°$ = AD / 3 AD = 3 cos$30°$ AD = 3 √3 / 2 AD = 3√3 / 2

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника ABCD, умножив длины его сторон:

Площадь = AD AC Площадь = $3\surd 3/2$ 3 Площадь = 9√3 / 2 Площадь = 4.5√3 кв.см

Итак, площадь прямоугольника ABCD равна 4.5√3 квадратных сантиметров.