Диагональ AC прямоугольника ABCD равна 3 см и составляет со стороной AD 30 градусов. Найди площадь прямоугольника...

Для решения задачи найдем стороны прямоугольника ABCD, используя информацию о диагонали и угле.

1. Обозначения и данные:

   • Диагональ ( AC = 3 ) см.
   • Угол между диагональю ( AC ) и стороной ( AD ) равен ( 30^\circ ).

2. Используем тригонометрию: В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются под прямым углом, деля прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник ( \Delta ACD ).

   В этом треугольнике:

   • ( AC ) — гипотенуза,
   • ( AD ) и ( DC ) — катеты.

   По условию, угол между гипотенузой ( AC ) и катетом ( AD ) равен ( 30^\circ ).

3. Используем тригонометрические функции для нахождения катетов:

   • ( AD = AC \cdot \cos(30^\circ) )
   • ( DC = AC \cdot \sin(30^\circ) )

   Подставим значения:

   • ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} )
   • ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} )

   Таким образом:

   • ( AD = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} )
   • ( DC = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} )

4. Нахождение площади прямоугольника: Площадь прямоугольника ( ABCD ) равна произведению его сторон ( AD ) и ( DC ): [ S = AD \cdot DC = \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \right) ]

5. Вычисление площади: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} ]

   Таким образом, площадь прямоугольника ( ABCD ) равна ( \frac{9\sqrt{3}}{4} ) квадратных сантиметров.

Ответ: Площадь прямоугольника ( ABCD ) составляет ( \frac{9\sqrt{3}}{4} ) квадратных сантиметров.

Для нахождения площади прямоугольника ABCD нам необходимо знать длины его сторон. Мы знаем, что диагональ AC равна 3 см и составляет с одной из сторон угол в 30 градусов.

Для начала найдем длину стороны AD. Мы можем использовать косинус угла 30 градусов и формулу косинусов:

cos(30°) = AD / AC cos(30°) = AD / 3 AD = 3 cos(30°) AD = 3 √3 / 2 AD = 3√3 / 2

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника ABCD, умножив длины его сторон:

Площадь = AD AC Площадь = (3√3 / 2) 3 Площадь = 9√3 / 2 Площадь = 4.5√3 кв.см

Итак, площадь прямоугольника ABCD равна 4.5√3 квадратных сантиметров.