Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найдите площадь...

Площадь осевого сечения цилиндра равна 8 см^2.

Чтобы решить эту задачу, необходимо вспомнить свойства цилиндра и его осевого сечения.

1. Основные понятия:

   • Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через его ось. В случае кругового цилиндра это прямоугольник.
   • Диагональ осевого сечения образует угол с плоскостью основания, и этот угол составляет 60°.

2. Дано:

   • Объем цилиндра $V=16\pi \sqrt{3}{\text{см}}^3$.
   • Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания $\alpha ={60}^{\circ }$.

3. Формулы:

   • Объем цилиндра: $V=\pi R^{2}H$, где $R$ — радиус основания, $H$ — высота цилиндра.
   • Площадь осевого сечения $прямоугольника$: $S_{\text{осевое}}=2RH$.

4. Решение:

   • Из формулы объема цилиндра выразим высоту: $H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{16\pi \sqrt{3}}{\pi R^2}=\frac{16\sqrt{3}}{R^2}.$
   • Диагональ осевого сечения $d$ связана с его сторонами $радиусомивысотой$ следующим образом: $d=\sqrt{(2R{)}^2+H^2}.$
   • Угол между диагональю и плоскостью основания даёт нам возможность использовать тригонометрию: $\cos ({60}^{\circ })=\frac{2R}{d}=\frac{1}{2}.$ Отсюда: $2d=4R\Rightarrow d=2R.$
   • Подставим выражение для диагонали: $2R=\sqrt{(2R{)}^2+H^2}.$ Возведем обе стороны в квадрат: $4R^2=4R^2+H^2.$ Отсюда следует, что: $H^2=0.$ Однако это невозможно, значит, мы ошиблись в предыдущих предположениях $возможно,впредположенииозначенияхтригонометрическойфункции$, но так как у нас есть выражение для объема и диагонали, пересчитаем: $\cos ({60}^{\circ })=\frac{H}{d}=\frac{1}{2}.$ Отсюда: $H=\frac{d}{2}.$ И тогда: $d=\sqrt{(2R{)}^2+H^2}=\sqrt{4R^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}.$ Подставив $H=\frac{d}{2}$, получаем: $d=2R\sqrt{3}.$
   • Теперь у нас есть полная система уравнений. Вернемся к площади осевого сечения: [ S{\text{осевое}} = 2RH. ] Зная $H=\frac{16\sqrt{3}}{R^2}$, подставим это в уравнение для площади: [ S{\text{осевое}} = 2R \cdot \frac{16\sqrt{3}}{R^2} = \frac{32\sqrt{3}}{R}. ]

Таким образом, площадь осевого сечения выражается через радиус $R$ цилиндра, и для численного ответа необходимо знать $R$. Если $R$ известен, можно подставить его значение, чтобы получить конечный ответ.

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра, нам необходимо знать радиус основания цилиндра. Объем цилиндра выражается формулой V = п r^2 h, где r - радиус основания, h - высота цилиндра. Из условия задачи мы знаем, что V = 16п√3 см^3.

Также, мы знаем, что угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра равен 60°. По свойствам цилиндра, диагональ осевого сечения будет равна √$r^2+h^2$. Поэтому cos$60°$ = r / √$r^2+h^2$, откуда r = h.

Теперь мы можем подставить найденное значение r = h в формулу для объема цилиндра: 16п√3 = п $h^2$ h, откуда h = 2√3 см.

Таким образом, радиус основания цилиндра r = h = 2√3 см. Теперь можем найти площадь осевого сечения цилиндра: S = п r^2 = п $2\surd 3$^2 = 12п см^2.