Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найдите площадь...

Тематика Геометрия
Уровень 10 - 11 классы
цилиндр осевое сечение диагональ угол площадь объем геометрия математика
0

Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найдите площадь осевого сечения, если объем цилиндра равен 16п корней из 3 см^3.

avatar
задан 5 месяцев назад

3 Ответа

0

Площадь осевого сечения цилиндра равна 8 см^2.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Чтобы решить эту задачу, необходимо вспомнить свойства цилиндра и его осевого сечения.

  1. Основные понятия:

    • Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через его ось. В случае кругового цилиндра это прямоугольник.
    • Диагональ осевого сечения образует угол с плоскостью основания, и этот угол составляет 60°.
  2. Дано:

    • Объем цилиндра V=16π3см3.
    • Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания α=60.
  3. Формулы:

    • Объем цилиндра: V=πR2H, где R — радиус основания, H — высота цилиндра.
    • Площадь осевого сечения прямоугольника: Sосевое=2RH.
  4. Решение:

    • Из формулы объема цилиндра выразим высоту: H=VπR2=16π3πR2=163R2.
    • Диагональ осевого сечения d связана с его сторонами радиусомивысотой следующим образом: d=(2R)2+H2.
    • Угол между диагональю и плоскостью основания даёт нам возможность использовать тригонометрию: cos(60)=2Rd=12. Отсюда: 2d=4Rd=2R.
    • Подставим выражение для диагонали: 2R=(2R)2+H2. Возведем обе стороны в квадрат: 4R2=4R2+H2. Отсюда следует, что: H2=0. Однако это невозможно, значит, мы ошиблись в предыдущих предположениях возможно,впредположенииозначенияхтригонометрическойфункции, но так как у нас есть выражение для объема и диагонали, пересчитаем: cos(60)=Hd=12. Отсюда: H=d2. И тогда: d=(2R)2+H2=4R2+(d2)2. Подставив H=d2, получаем: d=2R3.
    • Теперь у нас есть полная система уравнений. Вернемся к площади осевого сечения: [ S{\text{осевое}} = 2RH. ] Зная H=163R2, подставим это в уравнение для площади: [ S{\text{осевое}} = 2R \cdot \frac{16\sqrt{3}}{R^2} = \frac{32\sqrt{3}}{R}. ]

Таким образом, площадь осевого сечения выражается через радиус R цилиндра, и для численного ответа необходимо знать R. Если R известен, можно подставить его значение, чтобы получить конечный ответ.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра, нам необходимо знать радиус основания цилиндра. Объем цилиндра выражается формулой V = п r^2 h, где r - радиус основания, h - высота цилиндра. Из условия задачи мы знаем, что V = 16п√3 см^3.

Также, мы знаем, что угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра равен 60°. По свойствам цилиндра, диагональ осевого сечения будет равна √r2+h2. Поэтому cos60° = r / √r2+h2, откуда r = h.

Теперь мы можем подставить найденное значение r = h в формулу для объема цилиндра: 16п√3 = п h2 h, откуда h = 2√3 см.

Таким образом, радиус основания цилиндра r = h = 2√3 см. Теперь можем найти площадь осевого сечения цилиндра: S = п r^2 = п 23^2 = 12п см^2.

avatar
ответил 5 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме