Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найдите площадь...

Площадь осевого сечения цилиндра равна 8 см^2.

Чтобы решить эту задачу, необходимо вспомнить свойства цилиндра и его осевого сечения.

1. Основные понятия:

   • Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через его ось. В случае кругового цилиндра это прямоугольник.
   • Диагональ осевого сечения образует угол с плоскостью основания, и этот угол составляет 60°.

2. Дано:

   • Объем цилиндра ( V = 16\pi\sqrt{3} \, \text{см}^3 ).
   • Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания ( \alpha = 60^\circ ).

3. Формулы:

   • Объем цилиндра: ( V = \pi R^2 H ), где ( R ) — радиус основания, ( H ) — высота цилиндра.
   • Площадь осевого сечения (прямоугольника): ( S_{\text{осевое}} = 2RH ).

4. Решение:

   • Из формулы объема цилиндра выразим высоту: [ H = \frac{V}{\pi R^2} = \frac{16\pi\sqrt{3}}{\pi R^2} = \frac{16\sqrt{3}}{R^2}. ]
   • Диагональ осевого сечения ( d ) связана с его сторонами (радиусом и высотой) следующим образом: [ d = \sqrt{(2R)^2 + H^2}. ]
   • Угол между диагональю и плоскостью основания даёт нам возможность использовать тригонометрию: [ \cos(60^\circ) = \frac{2R}{d} = \frac{1}{2}. ] Отсюда: [ 2d = 4R \quad \Rightarrow \quad d = 2R. ]
   • Подставим выражение для диагонали: [ 2R = \sqrt{(2R)^2 + H^2}. ] Возведем обе стороны в квадрат: [ 4R^2 = 4R^2 + H^2. ] Отсюда следует, что: [ H^2 = 0. ] Однако это невозможно, значит, мы ошиблись в предыдущих предположениях (возможно, в предположении о значениях тригонометрической функции), но так как у нас есть выражение для объема и диагонали, пересчитаем: [ \cos(60^\circ) = \frac{H}{d} = \frac{1}{2}. ] Отсюда: [ H = \frac{d}{2}. ] И тогда: [ d = \sqrt{(2R)^2 + H^2} = \sqrt{4R^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2}. ] Подставив ( H = \frac{d}{2} ), получаем: [ d = 2R\sqrt{3}. ]
   • Теперь у нас есть полная система уравнений. Вернемся к площади осевого сечения: [ S{\text{осевое}} = 2RH. ] Зная ( H = \frac{16\sqrt{3}}{R^2} ), подставим это в уравнение для площади: [ S{\text{осевое}} = 2R \cdot \frac{16\sqrt{3}}{R^2} = \frac{32\sqrt{3}}{R}. ]

Таким образом, площадь осевого сечения выражается через радиус ( R ) цилиндра, и для численного ответа необходимо знать ( R ). Если ( R ) известен, можно подставить его значение, чтобы получить конечный ответ.

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра, нам необходимо знать радиус основания цилиндра. Объем цилиндра выражается формулой V = п r^2 h, где r - радиус основания, h - высота цилиндра. Из условия задачи мы знаем, что V = 16п√3 см^3.

Также, мы знаем, что угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра равен 60°. По свойствам цилиндра, диагональ осевого сечения будет равна √(r^2 + h^2). Поэтому cos(60°) = r / √(r^2 + h^2), откуда r = h.

Теперь мы можем подставить найденное значение r = h в формулу для объема цилиндра: 16п√3 = п (h^2) h, откуда h = 2√3 см.

Таким образом, радиус основания цилиндра r = h = 2√3 см. Теперь можем найти площадь осевого сечения цилиндра: S = п r^2 = п (2√3)^2 = 12п см^2.