Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а угол между плоскостью боковой грани...

Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой: S = 2 a l, где a - длина стороны основания, l - длина высоты боковой грани.

Так как пирамида правильная, то угол между боковой гранью и основанием равен 45°, а значит треугольник, образованный высотой, диагональю основания и половиной стороны основания, является равнобедренным. Из этого следует, что длина стороны основания равна 12 / sqrt(2) = 6 sqrt(2), а длина высоты боковой грани l = a sin(45°) = 6 sqrt(2) sin(45°) = 6.

Таким образом, S = 2 6 sqrt(2) 6 = 72 sqrt(2).

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно сначала выяснить несколько параметров этой пирамиды, используя данную информацию.

1. Определение длины стороны основания:

Поскольку основание пирамиды — это квадрат, и диагональ основания равна 12, используем формулу для диагонали квадрата:

[ d = s\sqrt{2} ]

где ( d ) — диагональ, а ( s ) — длина стороны квадрата. Подставим известное значение диагонали:

[ 12 = s\sqrt{2} ]

Отсюда находим ( s ):

[ s = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12 \sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} ]

1. Определение высоты боковой грани (апофемы):

Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен 45°. Это значит, что апофема (высота боковой грани) образует угол 45° с половиной диагонали основания квадрата.

Половина диагонали основания равна:

[ \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 ]

Апофема ( h ) и половина диагонали основания образуют прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это апофема, угол при основании — 45°. В таком треугольнике:

[ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{6} ]

Отсюда находим апофему:

[ h = 6 ]

1. Определение площади боковой поверхности:

Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Площадь одного такого треугольника равна:

[ A = \frac{1}{2} \cdot s \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 = 36\sqrt{2} ]

Тогда общая площадь боковой поверхности пирамиды будет:

[ 4 \cdot A = 4 \cdot 36\sqrt{2} = 144\sqrt{2} ]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна ( 144\sqrt{2} ).

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту пирамиды и затем использовать формулу для расчета площади боковой поверхности.

Из условия задачи известно, что диагональ основания равна 12, а угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен 45°. По определению, боковая грань правильной четырехугольной пирамиды является равнобедренным треугольником, поэтому у нас есть равенство сторон основания и углов между ними.

Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника, где гипотенуза - это диагональ основания, а катеты - это половины сторон основания. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 и углом 45°. По теореме синусов, мы можем найти длину одного катета:

sin(45°) = a/12, a = 12 sin(45°), a = 12 0.7071, a ≈ 8.49.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, которая равна второму катету прямоугольного треугольника:

h = 8.49.

Используя формулу для площади боковой поверхности пирамиды S = 1/2 p l, где p - периметр основания (4a), l - высота пирамиды, получаем:

S = 1/2 4a h, S = 1/2 4 8.49 8.49, S = 1/2 144.24, S ≈ 72.12.

Таким образом, площадь боковой поверхности этой пирамиды равна примерно 72.12 единицы площади.