Диагональ прямоугольника образует угол 70° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями...

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства прямоугольника и треугольников.

Известно, что диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Поскольку один из острых углов прямоугольного треугольника равен 70°, то второй острый угол будет 90° - 70° = 20°.

Таким образом, мы видим, что острый угол между диагоналями прямоугольника равен удвоенному значению угла, который образуется диагональю с одной из сторон прямоугольника. 2 * 20° = 40°.

Итак, острый угол между диагоналями прямоугольника равен 40°.

В данном случае мы имеем прямоугольник, в котором одна из диагоналей образует угол 70° с одной из сторон. Нам нужно найти острый угол между диагоналями прямоугольника.

1. Обозначения и базовые свойства:

   • Пусть ( ABCD ) — прямоугольник, где ( AB ) и ( CD ) — длинные стороны, а ( BC ) и ( AD ) — короткие стороны.
   • Диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( O ).
   • Диагонали прямоугольника равны, т.е. ( AC = BD ).

2. Угол между диагональю и стороной:

   • Пусть диагональ ( AC ) образует угол 70° с короткой стороной ( BC ).
   • Это означает, что угол между диагональю ( AC ) и стороной ( AB ) равен ( 20^\circ ) (поскольку сумма углов в треугольнике ( 90^\circ )).

3. Вычисление угла между диагоналями:

   • Рассмотрим треугольник ( \triangle AOB ). В этом треугольнике:
     • Угол ( \angle AOB ) — это угол между диагоналями, который нам нужно найти.
     • Угол ( \angle OAB = 70^\circ ).

4. Использование тригонометрии:

   • В прямоугольных треугольниках ( \triangle AOB ) и ( \triangle BOC ) диагонали являются гипотенузами, а стороны прямоугольника — катетами.
   • Углы при вершинах ( A ) и ( B ) (относительно диагонали) дополняют друг друга до 90°, т.е. ( \angle OAB = 70^\circ ) и ( \angle OBA = 20^\circ ).

5. Вычисление угла ( \angle AOB ):

   • В четырёхугольнике ( AOBD ) сумма углов равна 360°.
   • Углы ( \angle OAB ) и ( \angle OBA ) суммарно дают 90°.
   • Углы при вершинах ( O ) и ( D ) также дают 90°.
   • Следовательно, острый угол между диагоналями, ( \angle AOB ), равен ( 180° - 2 \times 70° = 40° ).

Таким образом, острый угол между диагоналями прямоугольника равен ( 40^\circ ).

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен 20°.