Диагональ прямоугольного треугольника равна 12 см с одной из его сторон угол 30. найти площадь

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Диагональ (гипотенуза) равна ( c = 12 ) см.
• Один из углов между стороной и гипотенузой равен ( 30^\circ ).

Нужно найти площадь треугольника.

Шаг 1: Свойства треугольника с углом ( 30^\circ )

Если угол между одной из катетов и гипотенузой равен ( 30^\circ ), значит, это треугольник, в котором один из углов ( 30^\circ ), другой ( 60^\circ ), а третий ( 90^\circ ). Такой треугольник — это частный случай прямоугольного треугольника, где катеты и гипотенуза находятся в соотношении:

[ \text{Против угла } 30^\circ \text{ лежит катет, равный половине гипотенузы.} ]

Это означает: [ a = \frac{c}{2}, \text{ где } a \text{ — катет, прилежащий к углу } 30^\circ. ]

Шаг 2: Найдем длину первого катета (( a ))

Подставим значение гипотенузы (( c = 12 )) в формулу: [ a = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см.} ]

Таким образом, катет ( a ), прилежащий к углу ( 30^\circ ), равен 6 см.

Шаг 3: Найдем длину второго катета (( b ))

В прямоугольном треугольнике с углами ( 30^\circ ), ( 60^\circ ) и ( 90^\circ ), второй катет (( b )), лежащий напротив угла ( 60^\circ ), равен: [ b = a \cdot \sqrt{3}. ]

Подставим значение ( a = 6 ): [ b = 6 \cdot \sqrt{3} \approx 6 \cdot 1.732 = 10.392 \text{ см.} ]

Шаг 4: Найдем площадь треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. ]

Подставим значения ( a = 6 ) и ( b = 6\sqrt{3} ): [ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}. ]

Приблизительно: [ S \approx 18 \cdot 1.732 = 31.176 \text{ см}^2. ]

Ответ:

Площадь треугольника равна ( 18\sqrt{3} ) квадратных сантиметров, или, округленно, ( 31.18 \, \text{см}^2 ).

Для решения задачи о нахождении площади прямоугольного треугольника, где известна длина диагонали (гипотенузы) и один из углов, воспользуемся свойствами треугольников и тригонометрическими функциями.

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• ( c ) — гипотенуза (диагональ), равная 12 см.
• ( a ) — одна из катетов, к которой относится угол 30°.
• ( b ) — другой катет.

Углы в треугольнике:

• Угол A = 30°
• Угол B = 90° (прямой угол)
• Угол C = 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Согласно свойствам прямоугольного треугольника с углом 30° и 60°, стороны треугольника соотносятся следующим образом:

• Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы: [ a = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}. ]

• Катет, противолежащий углу 60°, можно найти с использованием соотношения: [ b = a \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot \sqrt{3} \text{ см}. ]

Теперь мы можем найти площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. ]

Подставляем значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (6\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot 36\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника с заданными параметрами равна ( 18\sqrt{3} ) см², что примерно составляет 31.1 см², если округлить.

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 30°, длина стороны, противолежащей этому углу, равна половине длины гипотенузы. В данном случае гипотенуза (диагональ) равна 12 см, значит, сторона против угла 30° равна 6 см.

Сторона, прилежащая к углу 30°, можно найти по теореме Пифагора:

( b^2 + 6^2 = 12^2 )

( b^2 + 36 = 144 )

( b^2 = 108 )

( b = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} ) см.

Теперь можно найти площадь треугольника:

[ S = \frac{1}{2} \times (6) \times (6\sqrt{3}) = 18\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь треугольника равна ( 18\sqrt{3} ) см².