Диагональ трапеции лежит на биссектрисе её острого угла. Докажите, что боковая сторона трапеции равна...

Для доказательства этого утверждения рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, причём AB < CD, и AD и BC - боковые стороны. Пусть угол BAD - острый угол трапеции, и диагональ AC лежит на биссектрисе этого угла.

1. Определение и свойство биссектрисы: Поскольку AC - биссектриса угла BAD, она делит угол BAD на два равных угла, т.е. ∠BAC = ∠CAD.

2. Свойства углов в трапеции: Углы при одном основании трапеции в сумме дают 180°. Таким образом, ∠BAD + ∠ABC = 180° и ∠BCD + ∠CDA = 180°. Поскольку ∠BAD = ∠CAD + ∠CDA, то ∠BAD = ∠CAD + (180° - ∠BCD).

3. Равенство углов: Так как AC - биссектриса угла BAD, то ∠BAC = ∠CAD. Следовательно, ∠BAC = ∠CDA. Также, учитывая, что ∠ABC + ∠BCD = 180°, и ∠ABC = ∠BCD, мы имеем, что ∠ABC = 90° - ∠BAC.

4. Использование теоремы о треугольнике: Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть ∠BAC = ∠CAD = ∠CDA и ∠ABC = 90° - ∠BAC. Так как AC - биссектриса, то треугольник ABC - равнобедренный с основанием AB. Следовательно, BC = AB.

Таким образом, боковая сторона трапеции BC равна меньшему основанию AB.

Для начала обозначим основания трапеции как a и b, а боковую сторону как c. Также обозначим точку пересечения диагонали с биссектрисой острого угла как O.

Из условия задачи мы знаем, что диагональ трапеции делит ее на два подобных треугольника. Таким образом, мы можем записать следующее соотношение между сторонами треугольников:

c/a = (c + b)/b

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

bc = ac + ab bc - ac = ab c(b - a) = ab

Теперь заметим, что точка O является серединой диагонали трапеции, а значит, треугольник AOB является равнобедренным. Из этого следует, что AO = OB. Поэтому мы можем выразить стороны a и b через c:

a = c + b b = c + a

Подставим эти выражения в уравнение c(b - a) = ab:

c(c + a - c) = c(c + a) c(a) = c(a)

Таким образом, мы доказали, что боковая сторона трапеции равна меньшему основанию.