Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, точка Е лежит на стороне CD так, что DE:EC=2:5....

Вектор ОЕ = (2/5)x - (3/5)y.

Для начала обозначим векторы: x = AB, y = AD, z = AC.

Так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, то вектор О можно выразить как сумму векторов x и y: O = x + y.

Также заметим, что вектор DE является частью вектора DC, поэтому можно выразить вектор DE через векторы y и z: DE = 2/7 y + 5/7 z.

Теперь найдем вектор EC: EC = z - DC = z - x.

Так как DE = 2/7 y + 5/7 z и EC = z - x, то вектор ОE можно выразить как сумму векторов DE и EC: OE = DE + EC = 2/7 y + 5/7 z + (z - x) = 2/7 y + 12/7 z - x.

Итак, мы выразили вектор ОE через векторы x = AB, y = AD и z = AC: OE = 2/7 y + 12/7 z - x.

Рассмотрим параллелограмм (ABCD) с диагоналями, которые пересекаются в точке (O). Обозначим векторы ( \mathbf{x} = \overrightarrow{AB} ) и ( \mathbf{y} = \overrightarrow{AD} ).

Для начала, заметим, что точка (O) является точкой пересечения диагоналей (AC) и (BD), а значит, (O) является их серединой. Это означает, что:

[ \overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} ]

Теперь, выразим ( \overrightarrow{C} ) через векторы ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ):

[ \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \mathbf{x} + \mathbf{y} ]

Тогда, координаты точки (O) будут:

[ \overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{A} + (\overrightarrow{A} + \mathbf{x} + \mathbf{y})}{2} = \frac{2\overrightarrow{A} + \mathbf{x} + \mathbf{y}}{2} = \overrightarrow{A} + \frac{\mathbf{x} + \mathbf{y}}{2} ]

Теперь рассмотрим точку (E), которая лежит на стороне (CD) так, что отношение (DE:EC = 2:5).

Для этого, сначала выразим вектор ( \overrightarrow{D} ):

[ \overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} + \mathbf{y} ]

Теперь, выразим вектор ( \overrightarrow{E} ) через ( \overrightarrow{D} ) и ( \overrightarrow{C} ). Поскольку (E) делит (CD) в отношении (2:5), мы можем использовать формулу деления отрезка в данном отношении:

[ \overrightarrow{E} = \frac{5\overrightarrow{D} + 2\overrightarrow{C}}{5+2} = \frac{5(\overrightarrow{A} + \mathbf{y}) + 2(\overrightarrow{A} + \mathbf{x} + \mathbf{y})}{7} ]

Подставим выражения для ( \overrightarrow{D} ) и ( \overrightarrow{C} ):

[ \overrightarrow{E} = \frac{5(\overrightarrow{A} + \mathbf{y}) + 2(\overrightarrow{A} + \mathbf{x} + \mathbf{y})}{7} = \frac{5\overrightarrow{A} + 5\mathbf{y} + 2\overrightarrow{A} + 2\mathbf{x} + 2\mathbf{y}}{7} ]

Соберем все ( \overrightarrow{A} ) и векторы:

[ \overrightarrow{E} = \frac{7\overrightarrow{A} + 7\mathbf{y} + 2\mathbf{x}}{7} = \overrightarrow{A} + \mathbf{y} + \frac{2}{7}\mathbf{x} ]

Теперь выразим вектор ( \overrightarrow{OE} ) через ( \overrightarrow{O} ) и ( \overrightarrow{E} ):

[ \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{O} ]

Подставим выражения для ( \overrightarrow{E} ) и ( \overrightarrow{O} ):

[ \overrightarrow{OE} = \left( \overrightarrow{A} + \mathbf{y} + \frac{2}{7}\mathbf{x} \right) - \left( \overrightarrow{A} + \frac{\mathbf{x} + \mathbf{y}}{2} \right) ]

Упростим выражение:

[ \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{A} + \mathbf{y} + \frac{2}{7}\mathbf{x} - \overrightarrow{A} - \frac{\mathbf{x}}{2} - \frac{\mathbf{y}}{2} ]

[ \overrightarrow{OE} = \mathbf{y} - \frac{\mathbf{y}}{2} + \frac{2}{7}\mathbf{x} - \frac{\mathbf{x}}{2} ]

[ \overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\mathbf{y} + \left( \frac{2}{7} - \frac{1}{2} \right)\mathbf{x} ]

Приведем к общему знаменателю:

[ \overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\mathbf{y} + \left( \frac{4}{14} - \frac{7}{14} \right)\mathbf{x} ]

[ \overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\mathbf{y} - \frac{3}{14}\mathbf{x} ]

Таким образом, вектор ( \overrightarrow{OE} ) выражается через векторы ( \mathbf{x} ) и ( \mathbf{y} ) следующим образом:

[ \overrightarrow{OE} = -\frac{3}{14}\mathbf{x} + \frac{1}{2}\mathbf{y} ]