Диагонали параллелограмма равны 12 и 16, одна из его сторон – 10. Найдите периметр параллелограмма.

Рассмотрим задачу. У нас есть параллелограмм, его диагонали равны (12) и (16), а одна из сторон равна (10). Нужно найти периметр параллелограмма.

Шаг 1. Формула для диагоналей параллелограмма

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам. Если длины диагоналей равны (d_1) и (d_2), а длины сторон равны (a) и (b), то выполняется следующее соотношение (выведенное из теоремы косинусов):

[ d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2). ]

Здесь (d_1 = 12), (d_2 = 16), а одна из сторон равна (a = 10). Подставим известные значения:

[ 12^2 + 16^2 = 2(10^2 + b^2). ]

Шаг 2. Выразим (b^2)

Посчитаем квадраты диагоналей:

[ 12^2 = 144, \quad 16^2 = 256. ]

Сложим:

[ 144 + 256 = 400. ]

Теперь подставим в уравнение:

[ 400 = 2(10^2 + b^2). ]

Посчитаем (10^2):

[ 400 = 2(100 + b^2). ]

Разделим обе части уравнения на (2):

[ 200 = 100 + b^2. ]

Вычтем (100) из обеих сторон:

[ b^2 = 100. ]

Извлечем корень из (b^2):

[ b = 10. ]

Шаг 3. Периметр параллелограмма

Теперь мы знаем, что обе стороны параллелограмма равны (a = 10) и (b = 10). Периметр параллелограмма находится по формуле:

[ P = 2(a + b). ]

Подставляем значения:

[ P = 2(10 + 10) = 2 \cdot 20 = 40. ]

Ответ:

Периметр параллелограмма равен (40).

Для решения задачи, в которой известны длины диагоналей параллелограмма и одна из его сторон, воспользуемся свойствами параллелограмма и теоремой о диагоналях.

Обозначим:

• ( d_1 = 12 ) (первая диагональ),
• ( d_2 = 16 ) (вторая диагональ),
• ( a = 10 ) (известная сторона параллелограмма),
• ( b ) (вторая сторона, которую мы хотим найти).

Сначала воспользуемся формулой для диагоналей параллелограмма:

[ d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) ]

Подставим известные значения:

[ 12^2 + 16^2 = 2(10^2 + b^2) ]

Теперь вычислим (12^2) и (16^2):

[ 144 + 256 = 2(100 + b^2) ] [ 400 = 2(100 + b^2) ]

Делим обе стороны на 2:

[ 200 = 100 + b^2 ]

Теперь решим уравнение для (b^2):

[ b^2 = 200 - 100 = 100 ] [ b = \sqrt{100} = 10 ]

Таким образом, обе стороны параллелограмма равны (a = 10) и (b = 10). Это означает, что параллелограмм является ромбом, поскольку все его стороны равны.

Теперь можем найти периметр (P) параллелограмма:

[ P = 2(a + b) = 2(10 + 10) = 2 \times 20 = 40 ]

Таким образом, периметр параллелограмма равен (40).