Диаметр шара разделен на три части, которые относятся как 2:1:3. Через точки деления проведены плоскости,...

Объем шарового слоя, полученного после разделения диаметра на три части, равен (4/9)πR^3.

Для решения этой задачи начнем с анализа информации о том, как разделен диаметр шара. Диаметр шара разделен на три части, которые относятся как 2:1:3, что означает, что если обозначить эти три части как 2x, x и 3x, то сумма этих частей должна быть равна диаметру шара, то есть 2R (где R - радиус шара). Таким образом, у нас получается уравнение:

2x + x + 3x = 2R 6x = 2R x = R/3

Теперь, когда мы знаем, что x = R/3, давайте определим длины отрезков диаметра:

• Первый отрезок: 2x = 2(R/3) = 2R/3
• Второй отрезок: x = R/3
• Третий отрезок: 3x = 3(R/3) = R

Через точки деления, которые находятся на расстоянии 2R/3 и R от одного конца диаметра (или 4R/3 и R от другого конца), проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Эти плоскости образуют шаровой слой (сферический слой).

Объем шарового слоя V можно вычислить по формуле: [ V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + 3b^2 + h^2) ] где ( h ) - высота слоя (расстояние между плоскостями), ( a ) и ( b ) - радиусы сечений шара этими плоскостями.

В нашем случае:

• ( h = R ) (расстояние между плоскостями, 4R/3 - R/3)
• ( a = \sqrt{R^2 - (2R/3)^2} = \sqrt{R^2 - 4R^2/9} = R \sqrt{5/9} = R \sqrt{5}/3 )
• ( b = \sqrt{R^2 - (R/3)^2} = \sqrt{R^2 - R^2/9} = R \sqrt{8/9} = R \sqrt{8}/3 )

Подставим значения: [ V = \frac{\pi R}{6} (3(R \sqrt{5}/3)^2 + 3(R \sqrt{8}/3)^2 + R^2) ] [ V = \frac{\pi R}{6} (3R^2 \times 5/9 + 3R^2 \times 8/9 + R^2) ] [ V = \frac{\pi R}{6} (5R^2/3 + 8R^2/3 + R^2) ] [ V = \frac{\pi R}{6} (13R^2/3 + R^2) ] [ V = \frac{\pi R}{6} (16R^2/3) ] [ V = \frac{16 \pi R^3}{18} ] [ V = \frac{8 \pi R^3}{9} ]

Таким образом, объем шарового слоя составляет ( \frac{8 \pi R^3}{9} ).

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить радиусы трех шаров, которые образуются в результате деления диаметра на три части.

Пусть диаметр шара равен D, тогда длина каждой из частей будет равна D/6, D/3 и D/2 соответственно.

Так как отношение длин частей диаметра равно 2:1:3, то получаем: D/6 = 2x, где x - радиус первого шара D/3 = x, где x - радиус второго шара D/2 = 3x, где x - радиус третьего шара

Отсюда найдем значения x: x = D/12, 2D/12, 3D/12

Теперь можем вычислить объем каждого из шаров: V1 = (4/3)π(D/12)^3 V2 = (4/3)π(2D/12)^3 V3 = (4/3)π(3D/12)^3

Теперь найдем объем шарового слоя, который образуется вычитанием объема второго шара из объема третьего: Vслоя = V3 - V2 Vслоя = (4/3)π(3D/12)^3 - (4/3)π(2D/12)^3 Vслоя = (4/3)π((3D/12)^3 - (2D/12)^3)

Упростим выражение: Vслоя = (4/3)π(27D^3/1728 - 8D^3/1728) Vслоя = (4/3)π(19D^3/1728)

Таким образом, объем шарового слоя, который образуется при делении диаметра шара на три части с отношением 2:1:3, равен (19/72)πD^3.