Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60 к нему, равна...

Для решения задачи рассмотрим сферу с радиусом $R$ и диаметром $2R$. Пусть плоскость пересекает сферу и проходит через конец диаметра сферы под углом 60 градусов к этому диаметру. Линия пересечения сферы с плоскостью представляет собой окружность.

1. Поскольку плоскость проходит под углом 60 градусов к диаметру, то она образует с нормалью к плоскости $котораясовпадаетснаправлениемдиаметра$ угол 30 градусов. То есть угол между плоскостью и направлением на центр сферы равен 30 градусов.

2. Рассмотрим треугольник, вершиной которого является центр сферы, одна сторона — радиус сферы, а вторая сторона проходит через точку пересечения плоскости и сферы и перпендикулярна плоскости. Поскольку угол между радиусом, идущим к точке пересечения, и плоскостью составляет 30 градусов, третья сторона этого треугольника $отцентрасферыкплоскости$ равна $R\cos {30}^{\circ }=R\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Радиус $r$ окружности пересечения рассчитывается по теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом сферы $R$, расстоянием от центра сферы до плоскости $R\frac{\sqrt{3}}{2}$ и радиусом окружности пересечения: $r=\sqrt{R^2-{\left(R\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{R^2-R^2\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{R^2}{4}}=\frac{R}{2}$

4. Длина окружности пересечения равна $2\pi r=2\pi \frac{R}{2}=\pi R$. По условию задачи, эта длина равна $5\pi$. Следовательно: $\pi R=5\pi ⟹R=5$

Таким образом, диаметр сферы равен $2R=2\times 5=10$.