Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60 к нему, равна 5П. найдите диаметр сферы.
Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60 к нему, равна 5П. найдите диаметр сферы.
Для решения задачи рассмотрим сферу с радиусом ( R ) и диаметром ( 2R ). Пусть плоскость пересекает сферу и проходит через конец диаметра сферы под углом 60 градусов к этому диаметру. Линия пересечения сферы с плоскостью представляет собой окружность.
Поскольку плоскость проходит под углом 60 градусов к диаметру, то она образует с нормалью к плоскости (которая совпадает с направлением диаметра) угол 30 градусов. То есть угол между плоскостью и направлением на центр сферы равен 30 градусов.
Рассмотрим треугольник, вершиной которого является центр сферы, одна сторона — радиус сферы, а вторая сторона проходит через точку пересечения плоскости и сферы и перпендикулярна плоскости. Поскольку угол между радиусом, идущим к точке пересечения, и плоскостью составляет 30 градусов, третья сторона этого треугольника (от центра сферы к плоскости) равна ( R \cos 30^\circ = R \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Радиус ( r ) окружности пересечения рассчитывается по теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом сферы ( R ), расстоянием от центра сферы до плоскости ( R \frac{\sqrt{3}}{2} ) и радиусом окружности пересечения: [ r = \sqrt{R^2 - \left(R \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{R^2 - R^2 \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{R^2}{4}} = \frac{R}{2} ]
Длина окружности пересечения равна ( 2\pi r = 2\pi \frac{R}{2} = \pi R ). По условию задачи, эта длина равна ( 5\pi ). Следовательно: [ \pi R = 5\pi \implies R = 5 ]
Таким образом, диаметр сферы равен ( 2R = 2 \times 5 = 10 ).
