Длина окружности, описанной около правильного шестиугольника АВСDEF, равна 12пи (пи-число). Найдите...

Площадь четырехугольника ABCD равна 9пи.

Для начала найдем радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника. Поскольку длина окружности равна (12\pi), то по формуле длины окружности (C = 2\pi r) получаем, что (12\pi = 2\pi r). Отсюда радиус (r = 6).

В правильном шестиугольнике все стороны равны радиусу описанной окружности, следовательно, длина каждой стороны шестиугольника также равна 6. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников с длиной стороны 6.

Площадь равностороннего треугольника с длиной стороны (a) можно вычислить по формуле: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ] Подставляя (a = 6), получаем: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} ] Это площадь одного равностороннего треугольника.

Четырехугольник ABCD включает в себя 4 таких треугольника, так как правильный шестиугольник состоит из 6 равных треугольников, и четырехугольник содержит (\frac{4}{6}) всего шестиугольника. Следовательно, площадь четырехугольника ABCD равна: [ S_{ABCD} = 4 \cdot 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3} ] Это и есть искомая площадь четырехугольника ABCD.

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус описанной окружности правильного шестиугольника. Так как длина окружности равна 12π, то длина одной стороны правильного шестиугольника равна 2π (так как в правильном шестиугольнике шесть равных сторон).

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой: R = a/2sin(π/6), где a - длина стороны правильного шестиугольника. Подставляем a = 2π и получаем R = π.

Теперь можем найти площадь четырехугольника ABCD, который является четырехугольником с вершинами на вершинах правильного шестиугольника и центре описанной окружности.

Площадь четырехугольника ABCD можно найти как разность площадей треугольника ABC и сектора круга с углом в 120 градусов (2π/3). Площадь треугольника ABC равна (1/2)2ππsin(π/3) = π^2sqrt(3)/2. Площадь сектора круга равна (2π/3)*(π)^2/2 = (π^2)/3.

Итак, площадь четырехугольника ABCD равна π^2sqrt(3)/2 - π^2/3 = (3π^2sqrt(3) - 2π^2)/6 = π^2(3sqrt(3) - 2)/6.