Докажите что середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата

Давайте рассмотрим квадрат ABCD со сторонами равными a. Сначала определим координаты его вершин:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, a)
• D(0, a)

Теперь найдем середины сторон квадрата. Середины сторон можно найти, используя формулу для нахождения середины отрезка:

[ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) ]

1. Середина AB: [ M_1 = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) ]

2. Середина BC: [ M_2 = \left(\frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2}\right) = \left(a, \frac{a}{2}\right) ]

3. Середина CD: [ M_3 = \left(\frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a\right) ]

4. Середина DA: [ M_4 = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{a + 0}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}\right) ]

Теперь у нас есть координаты середин сторон квадрата:

• ( M_1 \left(\frac{a}{2}, 0\right) )
• ( M_2 \left(a, \frac{a}{2}\right) )
• ( M_3 \left(\frac{a}{2}, a\right) )
• ( M_4 \left(0, \frac{a}{2}\right) )

Чтобы показать, что эти точки являются вершинами нового квадрата, необходимо доказать, что они образуют квадрат.

Проверка свойств нового квадрата:

1. Дистанция между соседними вершинами: Найдем расстояние между ( M_1 ) и ( M_2 ): [ d(M_1, M_2) = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2\left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} ]

   Аналогично, можно показать, что: [ d(M_2, M_3) = d(M_3, M_4) = d(M_4, M_1) = \frac{a}{\sqrt{2}} ]

   Таким образом, все стороны нового квадрата равны.

2. Проверка углов: Найдем угол между векторами ( M_1M_2 ) и ( M_2M_3 ): [ \text{Вектор } M_1M_2 = \left(a - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) ] [ \text{Вектор } M_2M_3 = \left(\frac{a}{2} - a, a - \frac{a}{2}\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) ]

   Теперь найдем скалярное произведение векторов ( M_1M_2 ) и ( M_2M_3 ): [ M_1M_2 \cdot M_2M_3 = \left(\frac{a}{2}\right)\left(-\frac{a}{2}\right) + \left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a}{2}\right) = -\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = 0 ]

   Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны, что подтверждает, что угол между ними равен 90°.

Заключение:

Поскольку мы доказали, что все стороны равны и углы между ними равны 90°, то точки ( M_1, M_2, M_3, M_4 ) образуют квадрат. Следовательно, середины сторон квадрата ABCD действительно являются вершинами другого квадрата.

Чтобы доказать, что середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата, рассмотрим квадрат ABCD со сторонами равной длины. Обозначим середины сторон следующим образом: M — середина стороны AB, N — середина стороны BC, O — середина стороны CD и P — середина стороны DA.

1. Координаты вершин: Пусть A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a), где a — длина стороны квадрата.

2. Координаты середины:

   • M(а/2, 0)
   • N(a, a/2)
   • O(a/2, a)
   • P(0, a/2)

3. Проверка расстояний: Расстояние между M и N: [ MN = \sqrt{(a - a/2)^2 + (a/2 - 0)^2} = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{2(a/2)^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} ]

   Аналогично, можно показать, что расстояния между всеми соседними точками (N и O, O и P, P и M) равны (\frac{a\sqrt{2}}{2}).

4. Углы: Углы между сторонами квадрата, образованного M, N, O и P, равны 90° (поскольку стороны перпендикулярны друг другу).

Таким образом, четырехугольник MNOP имеет равные стороны и углы 90°, что доказывает, что он является квадратом.

Давайте докажем, что середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата.

Условие задачи:

Дан квадрат ( ABCD ) с вершинами в порядке обхода по часовой стрелке. Обозначим середины его сторон как ( M, N, P, Q ), где:

• ( M ) — середина стороны ( AB ),
• ( N ) — середина стороны ( BC ),
• ( P ) — середина стороны ( CD ),
• ( Q ) — середина стороны ( DA ).

Мы хотим доказать, что четырёхугольник ( MNPQ ) является квадратом.

Аналитическое доказательство:

1. Введём координаты квадрата ( ABCD ): Предположим, что квадрат ( ABCD ) расположен в декартовой системе координат:

   • ( A(0, 0) ),
   • ( B(a, 0) ),
   • ( C(a, a) ),
   • ( D(0, a) ), где ( a > 0 ) — длина стороны квадрата.

2. Найдём координаты середины каждой стороны: Согласно формуле для нахождения середины отрезка, координаты середины сторон:

   • ( M ) (середина ( AB )): ( M \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) ),
   • ( N ) (середина ( BC )): ( N \left( \frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2} \right) = \left( a, \frac{a}{2} \right) ),
   • ( P ) (середина ( CD )): ( P \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, a \right) ),
   • ( Q ) (середина ( DA )): ( Q \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{a + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2} \right) ).

   Таким образом, координаты вершин четырёхугольника ( MNPQ ):

   • ( M \left( \frac{a}{2}, 0 \right) ),
   • ( N \left( a, \frac{a}{2} \right) ),
   • ( P \left( \frac{a}{2}, a \right) ),
   • ( Q \left( 0, \frac{a}{2} \right) ).

3. Проверим, что ( MNPQ ) — квадрат: Для этого нужно показать:

   • Все стороны ( MNPQ ) равны,
   • Все углы прямые.

   a) Длины сторон: Используем формулу расстояния между двумя точками ( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ):

   • Длина ( MN ): [ MN = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}. ]