Чтобы доказать признак равенства треугольников по высоте и двум углам, на которые она делит угол треугольника, рассмотрим два треугольника и , такие что:
- Высота в треугольнике делит угол на два угла и .
- Высота в треугольнике делит угол на два угла и .
- Углы и равны.
- Углы и равны.
- Высоты и равны.
Мы должны доказать, что треугольники и равны.
Рассмотрим треугольники и :
- В этих треугольниках углы и равны по условию.
- Высоты и равны по условию.
- Углы и являются прямыми, так как и — это высоты.
Таким образом, треугольники и равны по признаку равенства треугольников по двум углам и стороне между ними .
Теперь рассмотрим треугольники и :
- В этих треугольниках углы и равны по условию.
- Высоты и равны по условию.
- Углы и являются прямыми, так как и — это высоты.
Таким образом, треугольники и равны по признаку равенства треугольников по двум углам и стороне между ними .
Так как треугольники и равны, и треугольники и равны, то треугольники и равны по признаку равенства треугольников по двум углам и стороне между ними, состоящей из сумм соответствующих равных частей.
Таким образом, мы доказали, что треугольники и равны, если их высоты равны и они имеют равные углы, на которые эти высоты делят углы треугольников.