Докажите равенства: cos (90⁰+α) = - sin α

Для доказательства равенства (\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha), можно использовать тригонометрические преобразования и свойства углов.

1. Определение угла: Углы вида (90^\circ + \alpha) находятся во втором квадранте тригонометрической окружности, где косинус отрицателен, а синус положителен.

2. Формула приведения: Используем формулу приведения для косинуса: [ \cos(90^\circ + \alpha) = \cos(90^\circ) \cos(\alpha) - \sin(90^\circ) \sin(\alpha) ] Поскольку (\cos(90^\circ) = 0) и (\sin(90^\circ) = 1), подставим эти значения в формулу: [ \cos(90^\circ + \alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - 1 \cdot \sin(\alpha) = -\sin(\alpha) ]

3. Геометрическая интерпретация: Рассмотрим единичную окружность. Угол (90^\circ + \alpha) соответствует повороту точки на окружности от оси абсцисс (оси (x)) на (90^\circ) плюс ещё (\alpha) градусов. В результате этого поворота точка, которая была на оси (\alpha), перемещается в положение, где её абсцисса равна (-\sin \alpha) (поскольку синус в первой четверти становится косинусом во второй, но со знаком минус).

Таким образом, мы приходим к выводу, что (\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha). Это равенство подтверждается как аналитически через формулы приведения, так и геометрически через понимание положения угла на тригонометрической окружности.

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой синуса и косинуса суммы углов.

cos(90°+α) = cos90°cosα - sin90°sinα = 0 cosα - 1 sinα = - sinα

Таким образом, доказано равенство cos(90°+α) = - sinα.

cos (90⁰ + α) = cos 90⁰ cos α - sin 90⁰ sin α cos (90⁰ + α) = 0 cos α - 1 sin α cos (90⁰ + α) = - sin α