Два угла параллелограмма относятся как 1:5.Найдите угол между высотами параллелограмма,проведенными...

Для решения задачи давайте разберем весь процесс пошагово.

Шаг 1: Углы параллелограмма

Пусть углы параллелограмма равны ( \alpha ) (острый угол) и ( \beta ) (тупой угол), а их соотношение дано как ( 1:5 ). Это означает, что:

[ \alpha : \beta = 1 : 5 ]

Сумма соседних углов параллелограмма равна ( 180^\circ ), то есть:

[ \alpha + \beta = 180^\circ ]

Подставим соотношение углов. Пусть ( \alpha = x ), тогда ( \beta = 5x ). Из условия:

[ x + 5x = 180^\circ ]

[ 6x = 180^\circ ]

[ x = 30^\circ ]

Таким образом, острый угол ( \alpha = 30^\circ ), а тупой угол ( \beta = 5x = 150^\circ ).

Шаг 2: Углы между высотами

В параллелограмме высоты, проведенные из одной вершины, всегда пересекаются под углом, равным разности ( 90^\circ - \alpha ) и ( 90^\circ - \beta ). Найдём угол между высотами.

1. Высоты пересекаются внутри параллелограмма. Углы между ними зависят от острых углов параллелограмма. Так как высоты "перпендикулярны" сторонам, угол между высотами равен:

[ 180^\circ - (\alpha + \beta). ]

Подставим значения углов:

[ 180^\circ - (30^\circ + 150^\circ) = 180^\circ - 180^\circ = 0^\circ.

Пусть угол параллелограмма, меньший по величине, равен ( x ). Тогда больший угол будет равен ( 5x ).

В параллелограмме сумма противоположных углов равна 180 градусам, поэтому:

[ x + 5x = 180^\circ ]

Объединим подобные:

[ 6x = 180^\circ ]

Теперь разделим обе стороны на 6:

[ x = 30^\circ ]

Таким образом, острый угол параллелограмма равен ( 30^\circ ), а тупой угол равен:

[ 5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ ]

Теперь найдем угол между высотами, проведенными из острых углов. Высота, проведенная из острого угла, перпендикулярна основанию, которое является стороной параллелограмма. Параллелограмм можно представить в виде двух треугольников: один из них будет иметь острый угол в ( 30^\circ ), а другой — в ( 150^\circ ).

Высота из острого угла будет направлена вертикально вниз, и угол между двумя высотами (из двух острых углов) будет равен разности соответствующих углов:

Так как высота из острого угла образует угол ( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ ) с основанием, а высота из другого острого угла также будет образовывать угол ( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ ) с основанием.

Итак, угол между высотами равен:

[ 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ ]

Таким образом, угол между высотами, проведенными из вершины острого угла параллелограмма, равен ( 120^\circ ).