Две касающиеся внешним образом окружности с центрами в точках О и О1 касаются сторон угла А( В и В1-точки...

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касающихся окружностей и геометрическими соотношениями.

1. Касательные окружности: Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Обозначим радиус окружности с центром в точке ( O ) как ( R = 24 ) см, а радиус окружности с центром в точке ( O_1 ) как ( r = O_1B_1 ).

2. Расстояние между центрами: Пусть ( d ) — расстояние между центрами окружностей ( O ) и ( O_1 ), тогда: [ d = R + r = 24 + r. ]

3. Условие задачи: Согласно условиям задачи, расстояние между точками ( A ) и ( O_1 ) в два раза меньше, чем расстояние между центрами окружностей, то есть: [ AO_1 = \frac{d}{2} = \frac{24 + r}{2}. ]

4. Геометрия треугольника ( AOO_1 ): Заметим, что точки ( A ), ( B ), и ( B_1 ) — точки касания окружностей со сторонами угла, следовательно, ( AB ) и ( AB_1 ) — касательные к соответствующим окружностям. Треугольник ( AOO_1 ) является равнобедренным, так как ( AO = AB ) и ( AO_1 = AB_1 ).

5. Равенство радиусов и касательных: Поскольку ( AB = AO = R = 24 ) см и ( AB_1 = AO_1 = \frac{24 + r}{2} ), то из равенства касательных имеем: [ AO_1 = \frac{24 + r}{2} = r. ]

   Теперь уравняем выражения для ( AO_1 ): [ r = \frac{24 + r}{2}. ]

6. Решение уравнения: Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 2r = 24 + r. ]

   Вычтем ( r ) из обеих сторон: [ r = 24. ]

Таким образом, радиус окружности с центром в точке ( O_1 ), то есть ( O_1B_1 ), равен 24 см.

Пусть ( r ) - радиус окружностей ( \odot O ) и ( \odot O1 ), ( d ) - расстояние между центрами окружностей, ( x ) - расстояние между точками ( A ) и ( O1 ), ( r1 ) - радиус окружности ( \odot O1 ), ( OB = 24 ) см.

По условию задачи: [ x = \frac{d}{2} ] [ OB = 24 \, \text{см} ] [ r = OB = 24 \, \text{см} ]

Также, по свойству касательных, треугольники ( \triangle OBA ) и ( \triangle O1B1A ) подобны, поэтому: [ \frac{r}{r1} = \frac{OB}{O1B1} = \frac{24}{r1} = \frac{OB + r}{x} = \frac{24 + r}{\frac{d}{2}} ]

Так как ( d = 2x ), то: [ \frac{24 + r}{x} = \frac{24 + r}{\frac{d}{2}} = \frac{24 + r}{2x} = \frac{24 + r}{2 \cdot \frac{d}{2}} = \frac{24 + r}{d} ]

Подставляем известные значения: [ \frac{24 + 24}{d} = \frac{48}{d} = \frac{24 + 24}{2 \cdot x} = \frac{48}{2x} = \frac{24}{x} ]

[ \frac{48}{d} = \frac{24}{x} ] [ 48x = 24d ] [ 2x = d ]

Следовательно, ( x = 12 ) см, ( r = 24 ) см, ( r1 = \frac{48}{12} = 4 ) см.

Ответ: радиус ( \odot O1 ) равен 4 см.