Две окружности с центрами О1 и О2, радиусы у которых равны пересекаются в точках M и N, через точку М проведена прямая параллельной О1О2 и пересекающая окружность с центром О2 в точке Д. Используя переллельный перенос докажите , что четырехугольник О1МДО2 является параллелограммом.
Для доказательства того, что четырехугольник (O_1MD O_2) является параллелограммом, мы воспользуемся методом параллельного переноса.
Начнем с того, что по условию прямая (MD) параллельна прямой (O_1O_2). Это означает, что углы (MO_1D) и (MO_2D) являются соответственными углами при параллельных прямых и секущей (MD), и следовательно, они равны.
Так как окружности с центрами (O_1) и (O_2) равны, точки (M) и (N) являются точками их пересечения, то отрезки (O_1M) и (O_2M) являются радиусами и равны. Также отрезки (O_1N) и (O_2N) также равны.
Рассмотрим параллельный перенос, который переводит точку (O_1) в точку (O_2). При таком переносе вся фигура, включая окружность с центром в (O_1), переносится так, что её центр оказывается в (O_2). Точка (M) переходит в точку (N), так как (O_1M = O_2N) и обе точки лежат на обеих окружностях.
Так как линия (MD) параллельна (O_1O_2), то при параллельном переносе точка (D) должна перейти в такую точку (D') на окружности с центром (O_2), что (MD' \parallel O_1O_2) и (MD' = MD). Но поскольку прямая (MD) пересекает окружность в одной точке (D) и она переносится параллельно сама себе, (D') должна совпасть с (D).
Таким образом, (O_1D) при параллельном переносе переходит в (O_2D), что означает, что (O_1D \parallel O_2D) и (O_1D = O_2D).
Теперь у нас есть, что (O_1M \parallel O_2D) и (O_1D \parallel O_2M), а также (O_1M = O_2M) и (O_1D = O_2D). Так как противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то по определению четырёхугольник (O_1MDO_2) является параллелограммом.
Для доказательства того, что четырехугольник О1МДО2 является параллелограммом, воспользуемся переносом.
Пусть вектор О1О2 = а, вектор О2М = b, тогда вектор О1М = а + b. Также, по условию, прямая, проходящая через точку М и параллельная О1О2, пересекает окружность с центром О2 в точке Д. Пусть вектор О2Д = с.
Таким образом, по свойствам параллельного переноса, вектор О1Д = а + с (поскольку О1Д параллелен О1М, и поэтому равен вектору а), а вектор О2Д = b + с (поскольку О2Д параллелен О2М, и поэтому равен вектору b).
Так как вектор О1Д = вектор О2М, а вектор О2Д = вектор О1М, то по свойствам параллелограмма, четырехугольник О1МДО2 является параллелограммом.
Таким образом, четырехугольник О1МДО2 является параллелограммом.
