Две стороны треугольника равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 60 градусов. Найдите периметр и...

Для решения этой задачи воспользуемся несколькими основными теоремами из геометрии: теоремой косинусов для нахождения третьей стороны треугольника и формулой для нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними.

1. Нахождение третьей стороны треугольника:

Теорема косинусов гласит: $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$

Где:

• $a$ и $b$ — известные стороны $3сми8см$,
• $\gamma$ — угол между этими сторонами $60градусов$,
• $c$ — искомая сторона.

Подставляем значения в формулу: $c^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos ({60}^{\circ })$

Поскольку $\cos ({60}^{\circ }$ = 0.5), получаем: $c^2=9+64-2\cdot 3\cdot 8\cdot 0.5$ $c^2=9+64-24$ $c^2=49$ $c=\sqrt{49}$ $c=7\text{см}$

Теперь третья сторона треугольника равна 7 см.

1. Нахождение периметра треугольника:

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: $P=a+b+c$ $P=3\text{см}+8\text{см}+7\text{см}$ $P=18\text{см}$

1. Нахождение площади треугольника:

Для нахождения площади треугольника, зная две стороны и угол между ними, используем формулу: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin (\gamma )$

Подставляем известные значения: $S=\frac{1}{2}\cdot 3\text{см}\cdot 8\text{см}\cdot \sin ({60}^{\circ })$

Поскольку $\sin ({60}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{3}}{2}), получаем: $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S=6\sqrt{3}{\text{см}}^2$

Таким образом, периметр треугольника равен 18 см, а площадь — $6\sqrt{3}{\text{см}}^2$.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. В данном случае, длины сторон равны 3 см, 8 см и 3/2 * 8 = 12 см $используемтеоремукосинусов$. Следовательно, периметр равен 3 + 8 + 12 = 23 см.

Площадь треугольника можно найти по формуле: S = 1/2 a b sin$C$, где a и b - длины сторон, C - угол между ними. Подставляя значения, получаем S = 1/2 3 8 sin$60$ = 12√3 см².

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов для нахождения третьей стороны треугольника:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C$),

где $c$ - третья сторона треугольника, $a$ и $b$ - известные стороны треугольника, $C$ - угол между этими сторонами.

Подставляя известные значения, получаем:

$c^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos ({60}^{\circ }$),

$c^2=9+64-48\cdot 0.5$,

$c^2=73-24$,

$c^2=49$,

$c=\sqrt{49}=7$.

Теперь, когда мы нашли все стороны треугольника, можем найти его периметр:

Периметр $P=a+b+c=3+8+7=18$ см.

Далее найдем площадь треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона:

$S=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}$,

где $p=\frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр треугольника.

Подставляя значения, получаем:

$p=\frac{3+8+7}{2}=9$,

$S=\sqrt{9\cdot (9-3)\cdot (9-8)\cdot (9-7)}$,

$S=\sqrt{9\cdot 6\cdot 1\cdot 2}$,

$S=\sqrt{108}\approx 10.39$ см².

Итак, периметр треугольника равен 18 см, а площадь равна около 10.39 см².