Две стороны треугольника равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 60 градусов. Найдите периметр и площадь треугольника.
Две стороны треугольника равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 60 градусов. Найдите периметр и площадь треугольника.
Для решения этой задачи воспользуемся несколькими основными теоремами из геометрии: теоремой косинусов для нахождения третьей стороны треугольника и формулой для нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними.
Теорема косинусов гласит: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ]
Где:
Подставляем значения в формулу: [ c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) ]
Поскольку (\cos(60^\circ) = 0.5), получаем: [ c^2 = 9 + 64 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 0.5 ] [ c^2 = 9 + 64 - 24 ] [ c^2 = 49 ] [ c = \sqrt{49} ] [ c = 7 \ \text{см} ]
Теперь третья сторона треугольника равна 7 см.
Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: [ P = a + b + c ] [ P = 3 \ \text{см} + 8 \ \text{см} + 7 \ \text{см} ] [ P = 18 \ \text{см} ]
Для нахождения площади треугольника, зная две стороны и угол между ними, используем формулу: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) ]
Подставляем известные значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \ \text{см} \cdot 8 \ \text{см} \cdot \sin(60^\circ) ]
Поскольку (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), получаем: [ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = 6\sqrt{3} \ \text{см}^2 ]
Таким образом, периметр треугольника равен 18 см, а площадь — ( 6\sqrt{3} \ \text{см}^2 ).
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. В данном случае, длины сторон равны 3 см, 8 см и 3/2 * 8 = 12 см (используем теорему косинусов). Следовательно, периметр равен 3 + 8 + 12 = 23 см.
Площадь треугольника можно найти по формуле: S = 1/2 a b sin(C), где a и b - длины сторон, C - угол между ними. Подставляя значения, получаем S = 1/2 3 8 sin(60) = 12√3 см².
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов для нахождения третьей стороны треугольника:
(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)),
где (c) - третья сторона треугольника, (a) и (b) - известные стороны треугольника, (C) - угол между этими сторонами.
Подставляя известные значения, получаем:
(c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)),
(c^2 = 9 + 64 - 48 \cdot 0.5),
(c^2 = 73 - 24),
(c^2 = 49),
(c = \sqrt{49} = 7).
Теперь, когда мы нашли все стороны треугольника, можем найти его периметр:
Периметр (P = a + b + c = 3 + 8 + 7 = 18) см.
Далее найдем площадь треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона:
(S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}),
где (p = \frac{a + b + c}{2}) - полупериметр треугольника.
Подставляя значения, получаем:
(p = \frac{3 + 8 + 7}{2} = 9),
(S = \sqrt{9 \cdot (9 - 3) \cdot (9 - 8) \cdot (9 - 7)}),
(S = \sqrt{9 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2}),
(S = \sqrt{108} \approx 10.39) см².
Итак, периметр треугольника равен 18 см, а площадь равна около 10.39 см².
