Используя теорему синусов, решите треугольник abc если ab=5, угол b=45 градусов, угол c=60 градусов.

Для решения треугольника ( ABC ) с помощью теоремы синусов необходимо найти все неизвестные стороны и углы треугольника. В данном случае нам известны:

• Сторона ( AB = 5 )
• Угол ( B = 45^\circ )
• Угол ( C = 60^\circ )

Первым шагом найдем третий угол ( A ) в треугольнике, используя тот факт, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ):

[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ ]

Теперь у нас есть все три угла треугольника: ( A = 75^\circ ), ( B = 45^\circ ), ( C = 60^\circ ).

Далее используем теорему синусов, которая утверждает, что отношения длины стороны треугольника к синусу противоположного угла одинаковы для всех трех сторон треугольника:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Где ( a = BC ), ( b = AC ), ( c = AB = 5 ).

1. Найдем сторону ( a ) (BC):

[ \frac{a}{\sin 75^\circ} = \frac{5}{\sin 45^\circ} ]

Решим это уравнение для ( a ):

[ a = \frac{5 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} ]

Зная, что (\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ), и используя приближенные значения (\sin 45^\circ \approx 0.7071) и (\cos 15^\circ \approx 0.9659):

[ a \approx \frac{5 \times 0.9659}{0.7071} \approx 6.83 ]

1. Найдем сторону ( b ) (AC):

[ \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin 45^\circ} ]

Решим это уравнение для ( b ):

[ b = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} ]

Зная, что (\sin 60^\circ \approx 0.8660):

[ b \approx \frac{5 \times 0.8660}{0.7071} \approx 6.12 ]

Итак, мы нашли все стороны треугольника:

• ( a \approx 6.83 )
• ( b \approx 6.12 )
• ( c = 5 )

Также у нас есть все углы:

• ( A = 75^\circ )
• ( B = 45^\circ )
• ( C = 60^\circ )

Треугольник ( ABC ) полностью решён.

Для решения треугольника ABC с помощью теоремы синусов, нам необходимо знать либо длины сторон, либо два угла и одну сторону. У нас дано, что AB = 5, угол B = 45 градусов и угол C = 60 градусов.

Сначала найдем третий угол треугольника ABC: Угол A = 180 - 45 - 60 = 75 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему синусов: a/sinA = b/sinB = c/sinC

Мы знаем, что AB = 5 и угол B = 45 градусов, поэтому можем найти сторону AC: 5/sin75 = AC/sin45 AC = 5 * sin45 / sin75 ≈ 3.54

Теперь можем найти сторону BC: BC/sin60 = 5/sin75 BC = 5 * sin60 / sin75 ≈ 4.33

Таким образом, стороны треугольника ABC равны: AB = 5, AC ≈ 3.54, BC ≈ 4.33.