Из точки A к окружности проведены касательные AN и AP, при этом угол NAP=120градусов. Радиус окружности...

Для решения задачи сначала разберёмся с основными фактами и применим их для нахождения длины касательной ( AN ).

1. Свойства касательной: Если из одной точки ( A ), расположенной вне окружности, проведены две касательные ( AN ) и ( AP ), то они:

   • равны между собой (( AN = AP )),
   • образуют равные углы с радиусами к точкам касания.

2. Дано:

   • Угол между касательными ( \angle NAP = 120^\circ ),
   • Радиус окружности ( R = 9 \, \text{см} ).

3. Разберёмся с геометрией задачи: Пусть ( O ) — центр окружности, а ( N ) и ( P ) — точки касания касательных с окружностью. Тогда радиусы ( ON ) и ( OP ) перпендикулярны касательным ( AN ) и ( AP ) соответственно. Треугольник ( OAN ) (и аналогично ( OAP )) является прямоугольным.

   В треугольнике ( \triangle OAN ):

   • ( ON = R = 9 ),
   • ( \angle NAP = 120^\circ ),
   • ( \angle NAO = \frac{\angle NAP}{2} = 60^\circ ) (так как касательные ( AN ) и ( AP ) равны, их углы с радиусами к точкам касания равны).

4. Найдём длину ( AN ): Рассмотрим прямоугольный треугольник ( OAN ). В нём:

   • ( \angle NAO = 60^\circ ),
   • ( ON = 9 \, \text{см} ) (перпендикуляр от центра к точке касания).

   Используем тригонометрическое соотношение: [ \tan(60^\circ) = \frac{ON}{OA}. ] Из таблицы тригонометрических значений известно, что ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ). Тогда: [ \sqrt{3} = \frac{9}{OA}. ] Отсюда: [ OA = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}. ]

   Теперь найдём длину ( AN ) с помощью теоремы Пифагора в треугольнике ( OAN ): [ OA^2 = ON^2 + AN^2. ] Подставим известные значения: [ (3\sqrt{3})^2 = 9^2 + AN^2. ] [ 27 = 81 + AN^2. ] [ AN^2 = 27 - 81 = -54. ]

Для решения задачи о касательных к окружности из точки A, давайте воспользуемся известными свойствами касательных и треугольников.

1. Свойства касательных: Из одной точки к окружности можно провести две касательные, которые будут равны между собой. Обозначим длину касательных AN и AP как ( x ). То есть, ( AN = AP = x ).

2. Далее рассмотрим треугольник: У нас есть треугольник ( ANP ), в котором угол ( NAP ) равен 120°. Также, так как AN и AP — касательные, углы ( OAN ) и ( OAP ) (где O — центр окружности) будут равны 90° (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания).

3. Определим длины: Теперь рассмотрим треугольник ( OAN ). В этом треугольнике:

   • ( OA ) — это расстояние от точки A до центра O окружности.
   • ( ON ) — это радиус окружности, равный 9 см.
   • ( AN ) — это длина касательной, которую мы ищем.

4. С использованием теоремы косинусов: В треугольнике ( OAN ) мы можем использовать теорему косинусов. У нас есть: [ OA^2 = AN^2 + ON^2 - 2 \cdot AN \cdot ON \cdot \cos(\angle OAN) ] Угол ( OAN ) равен 90° (так как касательная перпендикулярна радиусу), следовательно, косинус этого угла равен 0, и формула упрощается до: [ OA^2 = AN^2 + ON^2 ] То есть: [ OA^2 = x^2 + 9^2 ] [ OA^2 = x^2 + 81 ]

5. Рассмотрим треугольник ( ANP ): В этом треугольнике мы можем использовать свойства углов. Угол ( NAP = 120° ), значит угол ( ANP ) равен 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Теперь применим теорему синусов: [ \frac{AN}{\sin(30°)} = \frac{AP}{\sin(120°)} ] Поскольку ( AN = AP = x ), получаем: [ \frac{x}{\sin(30°)} = \frac{x}{\sin(120°)} ] Рассмотрим синусы:

   • ( \sin(30°) = \frac{1}{2} )
   • ( \sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} )

6. Упрощаем: У нас есть: [ \frac{x}{\frac{1}{2}} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} ] Это равенство верно, если ( OA ) равно: [ OA = \frac{x}{\sin(30°)} = 2x ] Теперь можем подставить это в уравнение, которое мы получили ранее: [ (2x)^2 = x^2 + 81 ] [ 4x^2 = x^2 + 81 ] [ 3x^2 = 81 ] [ x^2 = 27 ] [ x = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см} ]

Таким образом, длина касательной ( AN ) равна ( 3\sqrt{3} ) см.