Из точки К к окружности с центром О проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках M и...

Для решения задачи воспользуемся свойствами окружности и касательных.

Условие задачи:

• Центр окружности — точка ( O ), радиус окружности ( R = OM = 9 \, \text{см} ).
• Из точки ( K ) проведены две касательные к окружности, касающиеся её в точках ( M ) и ( N ).
• Угол между касательными: ( \angle MKL = 120^\circ ).

Необходимо найти длины ( KM ) и ( KN ) (а они равны, так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны).

Решение:

1. Свойства касательных.

Касательные, проведённые из одной точки вне окружности к окружности, равны по длине. То есть: [ KM = KN. ] Обозначим длину касательных через ( x ): ( KM = KN = x ).

2. Связь между точками через треугольник.

Образуется треугольник ( \triangle KMN ), который равнобедренный (( KM = KN )) с углом ( \angle MKL = 120^\circ ).

3. Построение и анализ.

Радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ( OM \perp KM ) и ( ON \perp KN ). Отрезки ( OM ) и ( ON ) являются радиусами окружности с длиной ( R = 9 \, \text{см} ).

Точки ( O ), ( M ), ( N ) и ( K ) образуют систему, где ( O ) — центр окружности, ( K ) — внешняя точка, ( M ) и ( N ) — точки касания.

4. Вспомогательная окружность и геометрия.

Пусть ( P ) — проекция точки ( K ) на прямую ( OM ) (или ( ON )). Треугольник ( \triangle OMK ) является прямоугольным (по теореме Пифагора).

5,

Для решения задачи используем свойства касательных к окружности и теоремы о треугольниках.

1. Построение: У нас есть окружность с центром O и радиусом OM = 9 см. Из точки K проведены касательные KM и KN к окружности, которые касаются окружности в точках M и N соответственно. По свойству касательных, отрезки KM и KN равны друг другу, то есть KM = KN.

2. Треугольник КОМ: Рассмотрим треугольник KOM. По свойству касательной, угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, равен 90 градусам. Это значит, что углы KMO и KNO равны 90 градусам.

3. Угол между касательными: Угол MKN равен 120 градусов. Так как KM и KN равны, треугольник KMN является равнобедренным, и угол K равен 120°.

4. Вычисление углов: Поскольку углы KMO и KNO равны 90 градусам, угол K в треугольнике KMO равен 90° – угол MOK. Таким образом, угол MOK можно найти как 180° - 120° = 60°.

5. Использование тригонометрии: Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длин KM и KN. В треугольнике KMO, используя закон синусов, мы можем записать:

   [ \frac{KM}{\sin(60°)} = \frac{OM}{\sin(90°)} ]

   Подставим известные значения:

   [ KM = OM \cdot \frac{\sin(60°)}{\sin(90°)} = 9 \cdot \sin(60°) ]

   Зная, что (\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}):

   [ KM = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7.79 \text{ см} ]

Таким образом, длины касательных KM и KN равны и составляют примерно 7.79 см.