Для решения задачи воспользуемся следующими соображениями.
Пусть ( a ) и ( b ) — проекции двух наклонных на плоскость, причём известно, что одна проекция на 4 см больше другой. То есть, можно записать, что ( a = b + 4 ).
Также известно, что длины наклонных равны 17 см и 15 см. По теореме Пифагора для каждой наклонной можем записать:
- ( 17^2 = a^2 + h^2 )
- ( 15^2 = b^2 + h^2 )
Здесь ( h ) — высота, опущенная из точки на плоскость, общая для обеих наклонных.
Теперь выразим ( h^2 ) из обоих уравнений и приравняем их:
[ a^2 + h^2 = 289 ]
[ b^2 + h^2 = 225 ]
Так как ( h^2 = 289 - a^2 ) и ( h^2 = 225 - b^2 ), то
[ 289 - a^2 = 225 - b^2 ]
[ 64 = a^2 - b^2 ]
Применим формулу разности квадратов:
[ 64 = (a - b)(a + b) ]
Подставляем ( a = b + 4 ):
[ 64 = 4 (b + 4 + b) ]
[ 64 = 4 (2b + 4) ]
[ 16 = 2b + 4 ]
[ 12 = 2b ]
[ b = 6 ]
Таким образом, ( b = 6 ) см, а ( a = b + 4 = 10 ) см.
Проверка:
[ a^2 + h^2 = 10^2 + h^2 = 100 + h^2 = 289 ]
[ h^2 = 189 ]
[ b^2 + h^2 = 6^2 + h^2 = 36 + 189 = 225 ]
Оба уравнения сходятся, так что проекции наклонных равны 10 см и 6 см.