из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17см и 15см. проекция одной из них на 4см больше другой. найдите проекции наклонных.
из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17см и 15см. проекция одной из них на 4см больше другой. найдите проекции наклонных.
Для решения задачи воспользуемся следующими соображениями.
Пусть ( a ) и ( b ) — проекции двух наклонных на плоскость, причём известно, что одна проекция на 4 см больше другой. То есть, можно записать, что ( a = b + 4 ).
Также известно, что длины наклонных равны 17 см и 15 см. По теореме Пифагора для каждой наклонной можем записать:
Здесь ( h ) — высота, опущенная из точки на плоскость, общая для обеих наклонных.
Теперь выразим ( h^2 ) из обоих уравнений и приравняем их: [ a^2 + h^2 = 289 ] [ b^2 + h^2 = 225 ]
Так как ( h^2 = 289 - a^2 ) и ( h^2 = 225 - b^2 ), то [ 289 - a^2 = 225 - b^2 ] [ 64 = a^2 - b^2 ]
Применим формулу разности квадратов: [ 64 = (a - b)(a + b) ] Подставляем ( a = b + 4 ): [ 64 = 4 (b + 4 + b) ] [ 64 = 4 (2b + 4) ] [ 16 = 2b + 4 ] [ 12 = 2b ] [ b = 6 ]
Таким образом, ( b = 6 ) см, а ( a = b + 4 = 10 ) см.
Проверка: [ a^2 + h^2 = 10^2 + h^2 = 100 + h^2 = 289 ] [ h^2 = 189 ] [ b^2 + h^2 = 6^2 + h^2 = 36 + 189 = 225 ]
Оба уравнения сходятся, так что проекции наклонных равны 10 см и 6 см.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника.
Обозначим проекцию более длинной наклонной за x, а проекцию более короткой наклонной за y. Также обозначим сами наклонные за a = 17 см и b = 15 см.
Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
x^2 = a^2 - y^2 (x+4)^2 = b^2 - y^2
Подставим значения a и b:
x^2 = 17^2 - y^2 (x+4)^2 = 15^2 - y^2
Решив данную систему уравнений, найдем значения x и y, которые будут являться проекциями наклонных на плоскость.
