Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8см проведены касательные AM и BM (A и B - Точки касания)....

Для решения задачи найдем периметр треугольника ABM, используя данные о касательных и угле между радиусами окружности.

1. Свойства касательных:

   • AM и BM — касательные к окружности из одной точки M. Поэтому они равны: ( AM = BM ).

2. Центральный угол и хорда:

   • Угол AOB равен 120 градусов. Это центральный угол, опирающийся на дугу AB.
   • Следовательно, дуга AB также составляет 120 градусов.

3. Свойства радиусов и касательных:

   • Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным AM и BM в точках касания A и B, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной в этой точке.

4. Рассмотрим треугольник OAB:

   • Треугольник OAB равнобедренный, так как ( OA = OB = 8 ) см.
   • Угол AOB равен 120 градусам.
   • Рассмотрим треугольник OAB: он делится на два равных треугольника с углами при основании по 30 градусов каждый (поскольку сумма углов в треугольнике 180 градусов, а центральный угол 120 градусов).

5. Найдем длину хорды AB:

   • В треугольнике OAB применим теорему косинусов: [ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) ] Подставим известные значения: [ AB^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) ] [ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ] [ AB^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) ] [ AB^2 = 64 + 64 + 64 = 192 ] [ AB = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \text{ см} ]

6. Периметр треугольника ABM:

   • Поскольку AM и BM касательные из одной точки, они равны.
   • Пусть ( AM = BM = x ). Тогда периметр треугольника ABM: [ P = AM + BM + AB = x + x + 8\sqrt{3} = 2x + 8\sqrt{3} ]

7. Найдем длину касательной AM (или BM):

   • Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM, в котором OA = 8 см, угол OAM = 90 градусов, и OM — гипотенуза.

   • Используем косинус угла AOM, чтобы выразить OM: [ \cos(\angle AOM) = \frac{OA}{OM} ] Поскольку угол AOM составляет половину угла AOB, он равен 60 градусов: [ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ] [ \frac{8}{OM} = \frac{1}{2} ] [ OM = 16 \text{ см} ]

   • Теперь найдем AM по теореме Пифагора в треугольнике OMA: [ OM^2 = OA^2 + AM^2 ] [ 16^2 = 8^2 + AM^2 ] [ 256 = 64 + AM^2 ] [ AM^2 = 192 ] [ AM = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \text{ см} ]

8. Окончательный периметр:

   • Теперь периметр треугольника ABM: [ P = AM + BM + AB = 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ см} ]

Таким образом, периметр треугольника ABM равен ( 24\sqrt{3} ) см.

Периметр треугольника ABM равен 24 см.

Для нахождения периметра треугольника ABM нам необходимо найти длины сторон этого треугольника.

Поскольку AM и BM являются касательными к окружности с центром О, то угол AOB является центральным углом, а значит, он равен удвоенному углу AMB. Таким образом, угол AMB = 120/2 = 60 градусов.

Так как треугольник AMO - прямоугольный (так как AM - касательная к окружности), то угол OAM = 90 градусов. Тогда угол AOM = 180 - 90 - 60 = 30 градусов.

Теперь мы можем найти длину стороны треугольника ABM. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. Так как AM - касательная, то AM перпендикулярна AO. Поэтому, в прямоугольном треугольнике AMO, AM является гипотенузой, а AO - катетом. Тогда по теореме Пифагора получаем: AM^2 = AO^2 + MO^2 AM^2 = 8^2 + 8^2 AM = 8√2 см

Так как треугольник AMO равнобедренный, то угол OAM = 30 градусов, следовательно, треугольник AOM также является равнобедренным. Тогда MO = AO = 8 см.

Теперь можем найти длину стороны треугольника ABM: AB = 2 AM = 2 8√2 = 16√2 см

Теперь найдем длину стороны BM. Поскольку треугольник OBM также равнобедренный, то BM = 2 MO = 2 8 = 16 см

Теперь можем найти периметр треугольника ABM: ABM = AB + AM + BM = 16√2 + 8√2 + 16 = 24√2 + 16 см

Таким образом, периметр треугольника ABM равен 24√2 + 16 см.