Из точки,удаленной от данной плоскости на 6 см,к плоскости проведены две наклонные. Найдите расстояние...

Рассмотрим задачу геометрически и решим её пошагово.

1. Обозначения и предположения:

   • Пусть точка $A$ находится на расстоянии $h=6$ см от плоскости $P$.
   • Проведены две наклонные из точки $A$: наклонная $AB$ и наклонная $AC$. Их основания — точки $B$ и $C$ на плоскости $P$.
   • Угол между наклонной $AB$ и плоскостью $P$ равен ${30}^{\circ }$.
   • Угол между наклонной $AC$ и плоскостью $P$ равен ${45}^{\circ }$.
   • Угол между наклонными $AB$ и $AC$ равен ${90}^{\circ }$.

2. Геометрические соотношения:

   • Высота $h$ от точки $A$ до плоскости $P$ является перпендикуляром, следовательно, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости $P$ и $AD=6$ см.
   • Обозначим проекции точек $B$ и $C$ на плоскость $P$ как $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ соответственно. Тогда:
     • $AB\cos ({30}^{\circ }$ = AD ).
     • $AC\cos ({45}^{\circ }$ = AD ).

3. Вычисления:

   • Для $AB$: $AB=\frac{AD}{\cos ({30}^{\circ })}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{ см}$
   • Для $AC$: $AC=\frac{AD}{\cos ({45}^{\circ })}=\frac{6}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=6\sqrt{2}\text{ см}$

4. Проекции оснований наклонных:

   • Проекция $AB$ на плоскость $P$ — это отрезок $B^{\prime }D$: $B^{\prime }D=AB\sin ({30}^{\circ })=4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3}\text{ см}$
   • Проекция $AC$ на плоскость $P$ — это отрезок $C^{\prime }D$: $C^{\prime }D=AC\sin ({45}^{\circ })=6\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=6\text{ см}$

5. Расстояние между основаниями наклонных:

   • Поскольку наклонные $AB$ и $AC$ образуют прямой угол, то треугольник $B^{\prime }{C}^{\prime }D$ прямоугольный с прямым углом при $D$.
   • Гипотенуза $B^{\prime }{C}^{\prime }$ в прямоугольном треугольнике вычисляется по теореме Пифагора: $B^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{(B^{\prime }D{)}^2+(C^{\prime }D{)}^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ см}$

Ответ: Расстояние между основаниями наклонных равно $4\sqrt{3}$ см.

Рисунок:

       A
       |\
       | \
       |  \
      h|   \AC
       |    \
       |     \
       D------C'
       |----B'      

• $A$ — точка, из которой проведены наклонные.
• $D$ — проекция точки $A$ на плоскость $P$.
• $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$ — проекции точек $B$ и $C$ на плоскость $P$.
• $AB$ и $AC$ — наклонные.
• $B^{\prime }D=2\sqrt{3}$ см, $C^{\prime }D=6$ см.
• $B^{\prime }{C}^{\prime }=4\sqrt{3}$ см.

Для решения данной задачи нам необходимо построить треугольник, образованный плоскостью, точкой и основаниями наклонных.

1. Проведем плоскость и отметим на ней точку A, удаленную на 6 см от плоскости.
2. Из точки A проведем две наклонные под углами 30° и 45° к плоскости. Обозначим их основания как B и C соответственно.
3. Соединим точки B и C отрезком, который будет перпендикулярен плоскости и образует прямой угол между наклонными.

Теперь у нас есть треугольник ABC, в котором мы знаем углы: 30°, 45° и прямой угол, а также сторону AC равную 6 см.

Используя свойства треугольника, мы можем найти расстояние между основаниями наклонных. Для этого применим тригонометрию.

Пусть x - искомое расстояние между основаниями наклонных.

Так как у нас прямоугольный треугольник, то можем воспользоваться тригонометрическими функциями:

tg$30°$ = x / AB tg$45°$ = x / BC

Отсюда найдем значения AB и BC, зная, что tg$30°$ = 1/√3 и tg$45°$ = 1:

AB = x / tg$30°$ = x * √3 BC = x / tg$45°$ = x

Из прямоугольности треугольника имеем:

AB^2 + BC^2 = AC^2 $x\ast \surd 3$^2 + x^2 = 6^2 3x^2 + x^2 = 36 4x^2 = 36 x^2 = 9 x = 3

Таким образом, расстояние между основаниями наклонных равно 3 см.

На рисунке:

• AB - расстояние от точки до плоскости $6см$
• AC и AD - наклонные
• BC и BD - расстояние между основаниями наклонных

Для нахождения расстояния между основаниями наклонных воспользуемся теоремой косинусов: BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2ACABcos$30°$ BD^2 = AD^2 + AB^2 - 2ADABcos$45°$

Решив уравнения, получим значения BC и BD.