Из углов P и Q параллелограмма PQRS провели биссектрисы PM и QM,пересекаются в точке M,лежащей на стороне...

В данном случае мы имеем параллелограмм PQRS, в котором проведены биссектрисы углов P и Q, пересекающиеся в точке M на стороне RS. Нам необходимо найти длину стороны PQ, если PS = 28.

1. Свойства параллелограмма:

   • Противоположные стороны параллелограмма равны: (PQ = RS) и (PS = QR).
   • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна (180^\circ).

2. Свойства биссектрис:

   • Биссектриса угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

3. Анализ задачи:

   • Пусть угол (\angle P = \alpha) и угол (\angle Q = \beta).
   • Биссектрисы углов P и Q делят стороны RS на части, пропорциональные сторонам PS и PQ.

4. Соотношения для биссектрис:

   • Биссектриса (\angle P) делит сторону RS на отрезки, пропорциональные PS и PQ.
   • Биссектриса (\angle Q) также делит сторону RS на отрезки, пропорциональные QR и QP.

   Из этого следует, что (\frac{RM}{MS} = \frac{PS}{PQ}) и (\frac{SM}{MR} = \frac{QR}{PQ}).

5. Вывод уравнения:

   • Поскольку PS = QR = 28, то (\frac{RM}{MS} = \frac{28}{PQ}).
   • Так как точка M лежит на стороне RS и отрезки RM и MS составляют всю сторону RS, мы имеем: [ RM + MS = RS. ]
   • Подставляя пропорции, получаем: [ RM = \frac{28}{PQ} \cdot MS. ]
   • Поскольку (RM + MS = PQ), у нас есть уравнение: [ \frac{28}{PQ} \cdot MS + MS = PQ. ]
   • Решая это уравнение относительно PQ, получаем: [ MS \left(\frac{28}{PQ} + 1\right) = PQ. ] [ MS = \frac{PQ^2}{PQ + 28}. ]

6. Решение уравнения:

   • Это уравнение можно решать методом подбора или аналитически, но для простоты рассмотрим, что в симметричных случаях, подобных задачам, часто оказывается, что PQ = PS.
   • Проверим при PQ = 28: [ MS = \frac{28^2}{28 + 28} = \frac{784}{56} = 14. ]
   • Таким образом, действительно, (PQ = 28).

Таким образом, длина стороны PQ равна 28.

Для начала заметим, что так как PM и QM являются биссектрисами углов P и Q соответственно, то углы BPM и BQM равны между собой. Таким образом, треугольники BPM и BQM равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, эти треугольники равнобедренные, а значит, BP = BM и BQ = BM.

Теперь обратим внимание на треугольник BPM. Поскольку угол PBM равен углу QBM, то угол BPM равен углу BQM. Значит, треугольники BPM и BQM подобны. Следовательно, соотношение сторон треугольников равно соотношению сторон PQ и PS:

PQ/PS = BM/BP = BM/BQ

Поскольку BM = BP + BQ, то BM/BP = 1 + BQ/BP. Таким образом, получаем:

PQ/PS = 1 + BQ/BP

Из равнобедренности треугольников BPM и BQM следует, что BQ = PQ и BP = PM. Подставляя это в формулу, получаем:

PQ/PS = 1 + PQ/PM

Так как M - точка пересечения биссектрис, то PM = MQ. Таким образом, получаем:

PQ/PS = 1 + PQ/MQ

Из подобия треугольников PQM и QRS следует, что MQ/RS = PQ/QS. Подставляя это в формулу, получаем:

PQ/PS = 1 + PQ/(28 - PS)

PQ/PS = 1 + PQ/28

28PQ = 28PS + PS*PQ

28PQ = 28*28 + 28PQ

28PQ - 28PQ = 784

0 = 784

Это уравнение не имеет решения. Вероятно, где-то была допущена ошибка в рассуждениях или в постановке задачи.

Для решения данной задачи нам необходимо знать, что биссектрисы углов параллелограмма делят его диагонали пополам. Таким образом, PM = MQ = RS/2 = 14. Из теоремы Пифагора для треугольника PMQ найдем длину PQ: PQ = √(PM^2 + QM^2) = √(14^2 + 14^2) = √(196 + 196) = √392 = 2√98 = 14√2. Итак, PQ = 14√2.