Из вершины A параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону BC в точке P и диагональ...

Площадь треугольника BMP равна 70.

Для решения задачи начнем с анализа геометрических свойств параллелограмма и использования данных о площадях треугольников.

1. Площадь параллелограмма ABCD: Площадь параллелограмма ABCD равна 84.

2. Площадь треугольника ABM: Площадь треугольника ABM равна 14.

3. Диагонали параллелограмма: Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Пусть точка пересечения диагоналей – это точка O. Следовательно, AO = OC и BO = OD.

4. Площадь треугольников, образованных диагоналями: Площадь параллелограмма делится диагоналями на 4 треугольника. Эти треугольники имеют равные площади, поскольку диагонали делят параллелограмм на 4 равных части по площади. Площадь каждой из этих частей равна ( \frac{84}{4} = 21 ).

5. Распределение площади в треугольниках: Треугольник ABM и треугольник BDM имеют общую сторону BM. Поскольку площадь треугольника ABM равна 14, а площадь треугольника ABM и треугольника BDM вместе должна составлять площадь одного из четырех треугольников, получаем: [ S{ABM} + S{BDM} = 21 ] Следовательно, [ S_{BDM} = 21 - 14 = 7 ]

6. Площадь треугольника BMP: Треугольник BMP лежит внутри треугольника BDM. Следовательно, площадь треугольника BMP – это часть площади треугольника BDM.

7. Соотношение площадей в треугольнике: Поскольку точка P лежит на стороне BC, а M – на диагонали BD, линия PM делит треугольник BDM на два треугольника с общей вершиной M. Важно заметить, что если точка P является серединой стороны BC, то треугольники BMP и DMP будут равны по площади. Это утверждение следует из симметрии и деления диагоналями параллелограмма.

8. Проверка положения точки P: Для точности, если P – середина BC, то треугольники BMP и DMP равны по площади и каждая из этих площадей равна половине площади треугольника BDM: [ S{BMP} = S{DMP} = \frac{S_{BDM}}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 ]

Следовательно, площадь треугольника BMP равна ( 3.5 ) квадратных единиц.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством параллелограмма, а именно тем, что площади параллелограммов, построенных на одинаковой базе и между параллельными прямыми, равны.

Из условия задачи мы знаем, что площадь параллелограмма ABCD равна 84, а площадь треугольника ABM равна 14. Так как треугольник ABM и треугольник BMP имеют общую высоту (высоту, опущенную из вершины M на сторону BP), а основания этих треугольников равны (сторона AB), то отношение площадей треугольников ABM и BMP равно отношению высот к общей стороне.

Таким образом, площадь треугольника BMP равна 14 * (84 / 14) = 84.

Ответ: Площадь треугольника BMP равна 84.