Для решения задачи по геометрии, давайте разберем каждую часть вопроса поэтапно.
Дано:
- Угол ромба ( \angle A = 120^\circ ).
- Высота из вершины тупого угла отсекает от стороны отрезок в 2 см.
Задача а: Найти периметр ромба и длину меньшей диагонали.
Шаг 1: Определение стороны ромба.
Рассмотрим ромб (ABCD) с углом ( \angle A = 120^\circ ). Пусть ( h ) — высота, проведенная из вершины ( A ) на сторону ( BC ). Она отсекает отрезок ( BE = 2 ) см (где ( E ) — точка пересечения высоты с ( BC )).
Так как высота перпендикулярна стороне ( BC ), треугольник ( ABE ) является прямоугольным с прямым углом в ( E ).
Шаг 2: Вычисление стороны ромба.
Используем тригонометрические функции. В треугольнике ( ABE ), угол ( \angle ABE = 60^\circ ) (так как ( \angle A = 120^\circ ), а ( \angle ABE = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ )).
Используем тангенс угла:
[
\tan(60^\circ) = \frac{AE}{BE} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AE}{2}.
]
Известно, что ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ), значит:
[
\sqrt{3} = \frac{AE}{2} \implies AE = 2\sqrt{3}.
]
Теперь, чтобы найти сторону ромба ( AB ), используем синус:
[
\sin(60^\circ) = \frac{BE}{AB} = \frac{2}{AB}.
]
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{AB} \implies AB = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.
]
Шаг 3: Периметр ромба.
Периметр равен:
[
P = 4 \times AB = 4 \times \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}.
]
Шаг 4: Вычисление меньшей диагонали.
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Обозначим диагонали как ( d_1 ) и ( d_2 ), где ( d_1 ) — большая диагональ, а ( d_2 ) — меньшая.
Для использования свойств ромба, помним, что:
[
d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot AB^2.
]
Угол между диагоналями ( \angle AOB = 60^\circ ), где ( O ) — точка пересечения диагоналей. Из тригонометрии в треугольнике ( AOB ):
[
d_1 = 2 \cdot AB \cdot \cos(30^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{6} = 2.
]
Теперь, ( d_2 ) находим из:
[
d_2 = 2 \cdot AB \cdot \sin(30^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.
]
Задача б: Доказать, что высота является биссектрисой угла, образованного диагональю и стороной ромба.
Пусть диагональ ( AC ) делит ромб на два равных треугольника. Так как ( AC ) перпендикулярна ( BD ) и ( h ) также перпендикулярна ( BC ), то ( h ) — биссектриса угла между диагональю и стороной, так как делит противоположные углы пополам (свойства высоты в равнобедренных треугольниках с равными сторонами и углами).
Таким образом, высота делит угол, образованный диагональю и стороной, на два равных угла, что и требовалось доказать.